Ayuda mostrando que la derivada es compacta

Question

Estoy luchando por probar el siguiente teorema:

$\textit{Sea }A:U\subset X\rightarrow Y\textit{ un operador completamente continuo de un subconjunto abierto U de un espacio normado}$ $\textit{X en un espacio de Banach Y y supongamos que A es Fréchet diferenciable en }\psi\in U.\textit{ Entonces la}$ $\textit{derivada }A'_{\psi}\textit{ es compacta.}$

No estoy seguro de cómo abordar esto. Estaba pensando en intentarlo por contradicción, es decir, asumiendo que $A'_{\psi}$ no es compacta, pero realmente no estoy seguro de cómo proceder desde allí... Supongo que lo que estoy pidiendo es una pista o una estrategia para intentar demostrar $A'_{\psi}$. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $T=A'_\psi$. Por la suposición, tenemos para algún $\delta>0$, $$ A(\psi + h) = A(\psi) +T h + \epsilon(h),\quad \forall |h|<\delta $$ donde $\frac{\|\epsilon(h)\|}{\|h\|}\to 0$ conforme $\|h\|\to 0$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $\psi =0$ y $A(\psi)=0$. Sea $(x_n)\subset X$ una secuencia con $\sup_n \|x_n\|\le 1$. Nuestro objetivo es demostrar que existe una subsecuencia $n(k)$ tal que $ Tx_{n(k)} $ es convergente. Por la suposición sobre $\epsilon(\cdot)$, para cualquier $\eta >0$ dada, existe un $M\in\mathbb{N}$ (lo suficientemente grande) tal que$$\Big\|\epsilon\left(\frac{1}{M}x_n\right)\Big\|\le \eta\Big\|\frac{1}{M}x_n\Big\|$$ para todo $n\ge 1$. Esto implica que$$ M\Big\|\epsilon\left(\frac{1}{M}x_n\right)\Big\|\le \eta\|x_n\|\leq \eta. $$ Ahora, observe que por la suposición de que $A$ es completamente continua (es decir, que toda secuencia acotada $(u_n)$ admite una subsecuencia que hace que $A(u_{n(k)})$ converja en norma en $Y$), el método de diagonalización nos da una subsecuencia $n(k)$ tal que para cada $j=1,2,\ldots$, la secuencia $$ A\left(\frac{1}{j}x_{n(k)}\right) $$ converge a algún $y_j\in Y$. De hecho, a partir del hecho de que$$ A\left(\frac{1}{M}x_n\right) = \frac{1}{M}Tx_n+\epsilon\left(\frac{1}{M}x_n\right), $$ se sigue que $$\begin{eqnarray} \|Tx_{n(k)}-My_M \|&=& \Big\|MA\left(\frac{1}{M}x_{n(k)}\right)-My_M-M\epsilon\left(\frac{1}{M}x_{n(k)}\right)\Big\|\\ &\le&M\Big\|A\left(\frac{1}{M}x_{n(k)}\right)-y_M\Big\|+\eta. \end{eqnarray}$$ Al tomar $k\to\infty$, obtenemos $$ \limsup_{k\to\infty}\|Tx_{n(k)}-My_M \|\le \eta $$ y $$ \limsup_{k,l\to\infty}\|Tx_{n(k)}-Tx_{n(l)} \|\le 2\eta. $$Dado que $\eta>0$ era arbitrario, esto prueba que $Tx_{n(k)}$ es de Cauchy en $Y$. Así, $Tx_{n(k)}$ es convergente, y la compacidad sigue como resultado.