qué significa obtener la fdc de una variable constante

Question

Vi este teorema

Si $X_n \ \xrightarrow{d}\ c$ donde $c$ es una constante, entonces $X_n \ \xrightarrow{p}\ c$

Para obtener $X_n \ \xrightarrow{d}\ c$ Necesito probar $\begin{align}%\label{eq:union-bound} \lim_{n \rightarrow \infty} F_{X_n}(x)=F_X(x), \end{align}$ lo que significa que estoy tratando de conseguir $F_c(x)$ , mi pregunta es qué significa obtener la fdc de una variable constante y cuál sería la función de densidad para $c$ ¿ser? ¿Es sólo 0? Si es así, ¿cuál es la intuición detrás de esto?

Answer 1

La fdc de una variable constante ( $P(X=c)=1$ ) tiene el siguiente aspecto

Aquí

$$F_c(x)=P(X\le x)=\begin{cases}1&\text{ if }& x\ge c\\ 0&\text{ otherwise}.\end{cases}$$

ya que incluso para $x=c$ , $P(X\le c)=1$ .

En este caso no hay pdf. porque no existe una función (normal) cuya integral de $-\infty$ a $x$ sería como $F_c(x).$

Answer 2

La función de distribución acumulativa para una variable aleatoria constante con $\mathbb{P}(X=c)=1$ es

$$F(x) = \left\{\begin{matrix}0 &\text{ if }x < c \\ 1 &\text{ if }x \ge c \end{matrix} \right.$$

No tiene una densidad significativa en $x=c$ ; si lo hiciera, entonces sería algo así como un Dirac $\delta$ -función

Answer 3

No hay nada "especial" en encontrar el $\text{cdf}$ de una variable constante. Usando la definición estándar,

$$\text{cdf}_X(x)=\mathbb P(X\le x)=\mathbb P(c\le x)=\begin{cases}c> x\to 0,\\c\le x\to1\end{cases}$$

y el $\text{cdf}$ es la llamada función escalón de Heaviside, con un desplazamiento, $H(x-c)$ .

---

La densidad es otra cosa. En principio es la primera derivada de la $\text{cdf}$ que es una función discontinua, por lo que no existe en sentido estricto. En el sentido de la teoría de las distribuciones (funciones generalizadas, ¡no distribuciones probabilísticas!), sería $\delta(x-c)$ (delta de Dirac).

---

Esto se ilustra en el gráfico siguiente, que muestra distribuciones gaussianas con desviaciones típicas decrecientes, donde se puede extrapolar la convergencia al delta de Dirac y al paso de Heaviside.