Decidability de la igualdad de los dos términos teóricos construidos sin el reemplazo o la especificación

Question

Definir el conjunto de NS-términos (NS es para "no hay planes") a ser el más pequeño conjunto de términos que cumplen las siguientes reglas :

• $\emptyset,\omega$ NS-términos.
• si $x$ $y$ NS-términos, entonces también lo son $x\cup y, x\cap y, x\setminus y,\lbrace x,y\rbrace,\bigcup(x),\bigcap(x)$ y ${\cal P}(x)$.

Así, el NS-términos son los términos que puede ser construido con todos los axiomas de ZFC, excepto la sustitución y la especificación de los "esquemas"). Quizás esos términos ya tienen un nombre en la literatura ? Tengo dos estrechamente relacionados con la pregunta acerca de este conjunto de $T$ de NS-términos.

Pregunta 1. Para $t,t' \in T$, es siempre cierto que cualquiera de ZFC demuestra $t=t'$ o ZFC demuestra $t\neq t'$ ?

Pregunta 2. Deje $f: T^2 \to \lbrace true,false \rbrace$ ser el mapa se define de la siguiente manera : $f(t,t')$ es cierto iff ZFC demuestra $t=t'$. Es $f$ computable ?

EDIT : ya hay varias variantes utilizadas por el axioma de infinitud, explico que yo uso aquí. Yo defino $\omega$ a ser el "conjunto de todos los números enteros", donde (como es habitual) un conjunto $x$ es un número entero iff es un ordinal en la que todos los elementos son sucesor ordinales o cero(=el conjunto vacío). Entonces mi axioma de infinitud de los estados que $\omega$ existe (es necesariamente único, por extensionality).

EDITAR 07/27 : como nombre de usuario observado, existe una definición de problema con el valor que se asigna a $\bigcap(\emptyset)$. Pongámonos de acuerdo en que $\bigcap(\emptyset)=\emptyset$, que es un buen convención como cualquier otra (y, probablemente, no cambio la respuesta a la pregunta ; solucionadores son bienvenidos atributo de otro valor de a $\bigcap(\emptyset)$ si se lleva a una solución).

Answer 1

Esta no es una respuesta sino una aclaración de algunos puntos, puedo eliminarlo mañana si te gusta:

En primer lugar, vamos a decir que NS-términos son palabras, más precisamente:

$V_0$ es el conjunto de palabras $\{\varnothing;\omega\}$. $\forall n \in \mathbb{N}, V_{n+1} = \{x;\bigcup (x); \bigcap (x); \mathcal{P}(x); \{x;y\};x - y; x \cup y; x \cap y \ | \ x,y \in V_n\}$, y el conjunto de todos los NS-condiciones es $V_{\omega_0} = \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} V_n$.

Desde $ZFC \vdash \forall x,y(x \cup y = \bigcup (\{x;y\}) \wedge x \cap y = \bigcap (\{x;y\}))$, los símbolos $\cup$ $\cap$ puede ser ignorada.

NS-términos son todos defininable de una manera natural: Acaba de establecer $F_{\varnothing}[x]$$"\forall y(y \notin x)"$, e $F_{\omega}$ "$x$ es el conjunto finito de números ordinales". Entonces por ejemplo, $F_{\{t;t'\}}[x]$$"\forall y(y \in x \longleftrightarrow F_t[y] \vee F_{t'}[y])"$. El caso especial es $F_{\bigcap (t)}[x]$ porque queremos evitar los términos interpretados por la correcta clases. Pero podemos solucionar este problema mediante el establecimiento $F_{\bigcap (t)}[x]= "t$ $x$ están vacías o $\forall y(y \in x \longleftrightarrow \forall z,w((F_t[w] \wedge z \in w) \rightarrow y \in z)))$".

Entonces si $t,t'$ NS-los términos de la declaración de $"t = t'"$ es una abreviación de $\forall x(F_t[x] \longleftrightarrow F_{t'}[x])$. (es wuite crucial para acordar las fórmulas de $F_t[x]$ antes de pensar acerca de los problemas)

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Todo esto es sólo para especificar el contexto. En cuanto a la pregunta 1, no he encontrado una manera de responder a ella.

Creo que un primer paso sería probar por inducción que si $\mathcal{M}$ es un modelo de ZFC, $t$ es un NS plazo, y $n$ es el menor entero tal que $t \in V_n$, entonces:

$\mathcal{M} \vDash t = \varnothing$ fib $\forall t' \in V_{\max(0,n-1)}, \mathcal{M} \vDash (t' \notin t)$.

Pero yo no entiendo cerca de hacerlo. A pesar de que parece ser una buena hipótesis de inducción en algunos puntos, no parece ser suficiente en los demás.