En el caso real, también se puede utilizar una desigualdad de Harnack para la ecuación linealizada debida a Caffarelli y Gutiérrez ( aquí ).
La idea es la siguiente. Si $\det D^2u = 1$ entonces por la concavidad de la ecuación, $\varphi = \Delta u$ es una subsolución positiva de la ecuación linealizada: $$u^{ij}\varphi_{ij} \geq 0.$$ Una versión de la desigualdad del valor medio es válida para las subsoluciones de esta ecuación, en una geometría elipsoidal en la que las bolas se sustituyen por los conjuntos de niveles de $u$ . Si $u$ tiene datos de frontera cero en un dominio en $\mathbb{R}^n$ equivalente a $B_1$ hasta dilataciones, entonces Caffarelli y Gutiérrez muestran que estos conjuntos de nivel tienen propiedades de cobertura lo suficientemente buenas como para imitar la demostración de la desigualdad de Krylov-Safonov Harnack, dando $$\varphi(0) \leq C(n) \int_{B_{1/2}} \varphi \,dx$$ (ya que $B_{1/2}$ contiene un conjunto razonablemente redondo de $u$ ), y puesto que $\varphi = \Delta u$ y $u$ es localmente Lipschitz, se ve que el lado derecho está acotado integrando por partes.
(En realidad, la desigualdad de Harnack para Monge-Ampere linealizada sólo requiere que $\det D^2u$ está limitada por arriba y por abajo por constantes positivas, pero necesitamos que el lado derecho sea bonito para decir que $\Delta u$ es una subsolución).
Tanto éste como el cálculo de Pogorelov se basan en la observación de que $\Delta u$ no tiene máximos locales. Aunque este método es más complicado, sus ventajas son que no requiere adivinar cantidades de corte complicadas y que proporciona una comprensión geométrica útil de la degeneración/invariancia afín de la ecuación. Una desventaja es que depende en gran medida de la convexidad de $u$ lo que no ocurre, por ejemplo, en el entorno complejo.
Además, en dos dimensiones (caso real de nuevo) se dispone de técnicas especiales como la transformada parcial de Legendre (obtenida tomando la transformada de Legendre a lo largo de líneas en alguna dirección $e$ ). Si $\det D^2u = 1$ entonces su transformada $u^*$ es armónico y $u^*_{ee} > 0$ y se puede obtener un límite superior para $u_{ee}$ utilizando la desigualdad de Harnack para obtener una cota inferior positiva para $u^*_{ee}$ .
