Demuestre que hay infinitos primos $p$ de la forma $p=a^2+b^2+c^2+1$

Question

Sé que cualquier número primo se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados. Pero no sé cómo saber que uno de esos cuadrados es $0$ .

Answer 1

El punto clave es que cualquier número entero que no sea de la forma $4^m(8k+7)$ puede escribirse como la suma de tres cuadrados (véase Legendre's $3$ -teorema de los cuadrados ). Por supuesto $p\neq 1+4^m(8k+7)$ es válida para infinitos primos, por ejemplo para cualquier primo de la forma $8k+3$ .