El ejemplo más sencillo en física de la materia condensada que rompe espontáneamente la simetría de inversión temporal es un ferromagneto. Dado que los espines (momento angular) cambian de signo con la inversión temporal, la magnetización espontánea en el ferromagneto rompe la simetría. Se trata de un ejemplo macroscópico.
El líquido de espín quiral (Wen-Wilczek-Zee) mencionado en la pregunta es un ejemplo no trivial que rompe la inversión temporal pero sin ninguna magnetización espontánea. Su parámetro de orden es la quiralidad de espín $E_{123}=\mathbf{S}_1\cdot(\mathbf{S}_2\times\mathbf{S}_3)$ que mide la curvatura de Berry (campo magnético efectivo) en la textura de espín. Dado que $E_{123}$ también cambia de signo bajo inversión temporal, por lo que la simetría T se rompe por el desarrollo espontáneo de la quiralidad de espín. El líquido de espín quiral puede considerarse como una condensación del skyrmion que lleva el quantum de la quiralidad de espín, pero es neutro de espín en su conjunto.
De hecho, dentro del sistema de espín, se puede cocinar cualquier parámetro de orden consistente en impar número de operadores de espín ( $\mathbf{S}_1$ para ferromagnetos y $E_{123}$ para líquido de espín quiral son ambos ejemplos de tales construcciones). Entonces, ordenando dicho parámetro de orden, la simetría de inversión temporal puede romperse espontáneamente.
Más allá del sistema de espín, todavía es posible romper la simetría de inversión del tiempo mediante el desarrollo del ordenamiento del momento angular orbital (corriente de bucle). Pensemos que los espines y las corrientes de bucle son ambos momentos angulares, lo que se puede hacer con los espines también se puede hacer con las corrientes de bucle. De hecho, el sistema de fermiones sin espín puede romper la simetría de inversión temporal utilizando la corriente de bucle (Nótese la palabra "sin espín", por lo que no hay espín SU(2) ni acoplamiento espín-órbita implicados en la siguiente discusión). Consideremos simplemente el fermión sin espín $c_i$ en una red cuadrada acoplada a un campo gauge U(1) $a_{ij}$ el Hamiltoniano es $$H=-t\sum_{\langle ij\rangle}e^{ia_{ij}}c_i^\dagger c_j+g\sum_\square \prod_{\langle ij\rangle\in\partial\square}e^{ia_{ij}}+h.c.$$ Con flujo cero por plaqueta y con el relleno de 1/2 fermión por sitio, el sistema tiene una superficie de fermi y el nivel de fermi descansa sobre una singularidad de Van Hove, que es muy inestable energéticamente. Los fermiones desean desarrollar cualquier tipo de orden siempre y cuando ayude a abrir una brecha en el nivel de fermi, de tal manera que la energía de fermi pueda reducirse. Se encuentra que el flujo escalonado es una solución, en la que el flujo U(1) $\pm\phi$ atraviesa la plaqueta alternativamente siguiendo el patrón del damero. La conexión de gálibo correspondiente es $a_{i,i+x}=0, a_{i,i+y}=(\phi/2)(-)^{i_x+i_y}$ . Se puede demostrar que la dispersión de energía para el fermión viene dada por $$E=\pm\sqrt{\cos^2k_x+\cos^2k_y+2\cos\frac{\phi}{2}\cos k_x\cos k_y},$$ que elimina la singularidad de Van Hove y abre una pseudo brecha (como los conos de Dirac) siempre que $\phi\neq 0$ . Por lo tanto impulsado por la energía fermi, $\phi$ desea crecer hacia el flujo máximo $\pi$ . Sin embargo, debido a la $g$ en el Hamiltoniano, el desarrollo del flujo escalonado consume energía magnética (la energía del momento angular orbital), que crece como $\phi^2$ para pequeños $\phi$ . La competencia entre la energía fermi $t$ y la energía magnética $g$ acabarán acordando un valor de punto de silla para $\phi$ que está entre 0 y $\pi$ y su valor específico puede ajustarse mediante la función $t/g$ relación. En términos de fermiones, el flujo de escalonamiento $\phi$ se interpreta como corrientes de bucle que alternan entre el sentido de las agujas del reloj y el contrario alrededor de cada plaqueta siguiendo el patrón del tablero de control. Dicho estado también se denomina antiferromagneto orbital (una disposición antiferromagnética del momento angular orbital) u onda d de densidad (DDW) en el contexto de alto Tc.
Aquí $\phi$ sirve como parámetro de orden del estado de flujo escalonado. Dado que $\phi$ cambia de signo bajo la simetría de inversión temporal (como cualquier otro flujo magnético), el desarrollo espontáneo del patrón de flujo escalonado en el sistema de fermiones sin espín romperá la simetría de inversión temporal. En los materiales en estado sólido, este fenómeno no se ha observado debido a que $t/g$ relación que no puede conducir $\phi$ lejos de 0. Sin embargo, teniendo en cuenta el rápido desarrollo de la física de átomos fríos, la simetría de inversión temporal espontánea rota en un sistema de fermiones sin espín puede realizarse en el futuro en la red óptica.
