Finalización del campo sigma

Question

Supongamos que $(\Omega, \mathcal{A},P)$ es un espacio de probabilidad. Demuestre que \begin{align} \mathcal{A}^*=\{A \cup N: A \in \mathcal{A}, N \in \mathcal{N} \} \end{align} es un álgebra sigma y donde $\mathcal{N}$ es un subconjunto de todos los conjuntos despreciables.

Estoy atascado no una parte donde tengo que demostrar que si $B \in \mathcal{A}^*$ entonces $B^c \in \mathcal{A}^*$ . Estaba pensando que podemos escribir $B^c=(A \cup N)^c=A^c \cap N^c$ . Pero, ¿es $N^c \in \mathcal{A}^*$ ??? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La idea es que un conjunto nulo es un subconjunto de un conjunto nulo en su $\sigma$ -álgebra. Si $N\in \mathcal N$ entonces hay un $M\in \mathcal A\cap\mathcal N$ para que $N\subseteq M$ . Ahora, $(A\cup M)^c\cup (M\setminus N)=(A\cup N)^c$ donde $(A\cup M)^c\in\mathcal A$ et $(M\setminus N)\in\mathcal N$ .