Resto en series alternas / Resto en general

Question

Hay una pequeña parte en la que me atasco cuando intento encontrar los restos, publicaré dos problemas sencillos con mi trabajo y mi respuesta comparada con la respuesta del libro. Por favor, ayúdame y dime por qué lo que estoy haciendo o donde mi proceso de pensamiento es incorrecto.

Determine cuántos términos de la serie convergente deben sumarse para estar seguro de que ese resto es menor que $10^{-4}$ $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$$ Así que al resolver este $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}$$ Así que al resolver esto primero tomo el valor absoluto y lo pongo como: $R_n \leq \frac{1}{2(n+1)+1}$ Ahora digo $10^{-4} \leq \frac{1}{2(n+1)+1}$ lo que significa que $10^4 \geq 2(n+1)+1$ . A continuación tenemos $n$ tal que $\frac{10^4 -3}{2} \approx 4999$ . Sin embargo, el libro afirma que es $5000$ .

Siempre estoy fuera de un número y simplemente no lo entiendo, porque no matemáticas algebraicamente.

Answer 1

Quiere que su desigualdad sea $10^{-4} > \frac{1}{2n+1}$ porque necesita que el término sea menor que el límite.

Así que $2n+1 > 10000$ ou $n > \frac{9999}{2} = 4999.5$ ou $n \ge 5000$ .