Desigualdad simple ( o falsa)

Question

Dado $a$ , $b$ et $c > 0$ tal que $abc=1$ demuestre que $$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \leq 8abc$$ No sé si es verdad o no, pero necesito ayuda en ambos casos.

Merci

Answer 1

Por ejemplo $c$ constante ( $c \neq1$ et $c>0$ ) y escriba $a=b+\epsilon$ Así que..,

$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \leq 8 \Leftrightarrow \frac{b+\epsilon}{b-c}+\frac{b}{c-b-\epsilon}+\frac{c}{\epsilon} \leq 8$$

Si hacemos $\epsilon \rightarrow 0$ entonces $a \rightarrow b \rightarrow 1/\sqrt{c}$ y el lado izquierdo va a $\infty$ y entonces la desigualdad no es cierta.

Answer 2

Poner $a = 1/2$ , $b = 4/5$ , $c=5/2$ en su desigualdad da $2098/255 \approx 8.23 \le 8$ lo cual es claramente falso.

Answer 3

Si $a$ et $b$ son "pequeños" y están muy muy juntos (pero $a$ ligeramente mayor), entonces $c$ es "grande" y $c/(a-b)$ puede hacerse arbitrariamente grande.

$a/(b-c)$ es negativo, pero puede ser un "pequeño" negativo (como $c$ es "grande" en comparación con $a$ et $b$ . $b/(c-a)$ es positivo (pero pequeño). Así que esa suma puede ser arbitrariamente grande.

Por ejemplo:

Fijar $M$ ser un número "grande".

Sea $a = 1/M$ et $b = 1/2M$ son dos números pequeños cercanos entre sí así que.....

Entonces $c = 1/ab = 2M^2$

Entonces $\frac a{b-c} = \frac 1{M(\frac 1{2M} - 2M^2)}=\frac 1{\frac 12 - 2M^3} \approx 0$

Y $\frac b{c-a} = \frac{1}{2M(2M^2 - \frac 1M}=\frac{1}{4M^3- 1} \approx 0$

Y $\frac c{a-b} = \frac{2M^2}{\frac {1}{2M}} =4M^3$

Entonces $\frac a{b-c} + \frac b{c-a} + \frac c{a-b} \approx 4M^3 > 8 = 8abc$ .

$M$ ni siquiera tiene que ser tan grande. Digamos $M=2$ así que $a= 1/2$ et $b=1/4$ et $c = 8$ .

Entonces $\frac a{b-c} = -\frac 1{2(7\frac 34)}= -\frac {2}{31}$

$\frac b{c-a} = \frac 1{4(7 \frac 12)} = \frac 1{30}$

$\frac c{a-b} = \frac 8{1/4} = 32$ et

$-\frac {2}{31}+ \frac 1{30} + 32 = 32 - \frac {2*30 - 31}{31*30}=32 - \frac{29}{930} = 31 \frac{901}{930} > 8*\frac 12*\frac 14*8 = 8 $

Answer 4

Para $a\geq 9$ et $b=1$ et $c=1/a$ tenemos $$a/(b-c)=a/(1-c)>a\geq 9.$$ $$c/(a-b)>0.$$ $$ |b/(c-a)|=b/(a-c)=1/(a-1/a)\leq 1/(a-1/9)\leq 1/(9-1/9)<1/8.$$ Entonces el LHS es mayor que $9-1/8$ que es mayor que $8$ el RHS.

La desigualdad inversa tampoco se cumple siempre. Cuando $a=2,b=1, c=1/2$ el LHS es menor que $4.$