Confusión en la notación del tensor de impulso de Lorentz

Question

Me han dado esto $$\delta X^{\mu}=\omega_{\mu \nu}\left(M^{\mu \mu}\right)_{\sigma}^{\rho} X^{\sigma}$$

y creo que debería ser igual a esto pero estoy confundido si lo estoy haciendo correctamente

$$\delta X^{\mu}=\omega_{\sigma}^{\rho} X^{\sigma}$$

Simplemente no pude encontrar una regla en la sección de bajar y subir índices en la wiki o en mi libro de Tensor calc.

Answer 1

$M$ representa aquí los generadores de la representación vectorial del grupo de Lorentz, y $\omega$ es un tensor antisimétrico que parametriza los elementos del grupo. En términos de estos generadores, un elemento del grupo de Lorentz en la representación vectorial viene dado por

$$\Lambda=\exp\left(\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right),$$

donde se entiende que $\Lambda$ y $M^{\mu\nu}$ son $d\times d$ matrices en $d$ dimensiones.

Una transformación finita viene dada por $X^{\mu}\to\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu}X^{\nu}$ lo que nos dice que la ley de transformación infinitesimal viene dada por

$$\delta X^{\mu}=\omega_{\alpha\beta}(M^{\alpha\beta})^{\mu}_{\,\,\,\nu}X^{\nu}.$$

Para una forma explícita de $M$ Consulte básicamente cualquier libro de texto sobre teoría de campos (por ejemplo, el capítulo 3 de Peskin y Schroeder).

Answer 2

Bueno, hay un problema en tu primera fórmula porque en cuanto a Convención de Einstein se refiere al símbolo:

$$\omega_{\mu\nu}M^{\mu\mu}$$

carece totalmente de sentido, porque sólo tienes suma con dos índices repetidos. Además, las transformaciones de Poincaré son, de hecho, y con mayor generalidad:

$$\delta X'^{\mu}= \Lambda^{\mu}_{\nu} \delta X^{\nu} + a^{\mu}$$