¿Números catalanes de mayor dimensión?

Question

Se podría imaginar la definición de varias nociones de números catalanes de dimensión superior, generalizando los objetos que cuentan. Por ejemplo, como los números catalanes cuentan las triangulaciones de polígonos convexos, se podrían contar las tetraederaciones de poliedros convexos, o más generalmente, triangulaciones de politopos. Quizás el número de triangulaciones de los $n$ -cubo son similares al catalán catalán? O, porque los números catalanes cuentan el número de caminos monótonos por debajo de la diagonal en un $n \times n$ se podría contar el número de trayectorias monótonas por debajo de el "hiperplano diagonal" en un $n \times \cdots \times n$ rejilla.

Me interesarían las referencias a tales generalizaciones, que seguramente se han considerado; sólo que no estoy buscando con la terminología adecuada. Estaría especialmente agradecido de conocer generalizaciones que compartan algo de la ubicuidad del número catalán. Gracias por las sugerencias.

Answer 1

Una generalización relativamente directa es interpretar la $n$ -ésimo número catalán como la multiplicidad de la representación trivial en el $2n$ -ésima potencia tensorial de la norma $2$ -representación dimensional de $SU_2(\mathbf{C})$ y considerar en su lugar la multiplicidad de la representación trivial en el $kn$ -ésima potencia tensorial de la norma $k$ -ésima representación dimensional de $SU_k(\mathbf{C})$ .

(Por otra parte, no sé qué otras propiedades de los números catalanes tendrán aquí alguna analogía...)

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero me pregunto si hay generalizaciones (en $2$ -dimensional) de la forma: número de caminos desde $(0,0)$ a $\left(n,\left\lfloor mn \right\rfloor\right)$ que se mantienen por debajo de la línea $y=mx$ ? ¿Y tendría otras interpretaciones?

Answer 3

Existe una relación entre los Associahedra y las particiones no cruzadas, como se indica en este documento:

Asociaedros racionales y particiones no cruzadas

Sloane Encylopedia tiene a lo largo de lista de datos sobre los números catalanes

Espera. Estos no son de dimensiones superiores.