Aquí hay dos cuestiones muy diferentes: los mejores argumentos para la subjetividad de los mapas naturales SL(n,R)\rightarrow SL(n,R/I) y sobre la aproximación fuerte. Si bien es cierto que la Aproximación Fuerte implica más que estas surjectivities en situaciones que no son del todo elemental, es una exageración grave, creo.
Las pruebas más directas de estas subjetividades pueden parecer innecesarias y poco esclarecedoras, pero creo que es el resultado de subestimar la cuestión. No es tan grave como (edito: "la versión fuerte de") la Aproximación Fuerte, ni mucho menos, pero tampoco es un ejercicio fácil. Los argumentos de Rosenberg no pueden simplificarse mucho, aparte de eliminar K -terminología teórica, si se insiste. Un argumento posiblemente irreduciblemente mínimo para SL(2,\hbox{PID}) está en línea en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes/07b_surjectivity.pdf En cualquier caso, una vez que uno se reconcilia con la no-trivialidad de la cuestión de la subjetividad, las pruebas que uno encuentra razonablemente pueden parecer menos irrazonables.
La(s) pregunta(s) sobre las pruebas de (edito: "las formas fuertes de") la Aproximación Fuerte están en otra liga. (De hecho, como en un comentario o respuesta, la cuestión de la surjectividad por sí misma no necesita adeles o cohomología). A finales de la década de 1930, Eichler obtuvo resultados equivalentes a la aproximación fuerte para álgebras simples sobre campos numéricos. El trabajo de M. Kneser a partir de 1960 (con dos artículos en la conferencia de Boulder) se centró principalmente en los grupos ortogonales y los grupos clásicos. otros que SL(n) o los grupos unitarios de álgebras simples. Para estos últimos, incluido SL(n), el argumento es esencialmente álgebra lineal y análisis elemental, con algunas astucias.
(El argumento de mi antiguo libro sobre las formas modulares de Hilbert era (si no recuerdo mal) una destilación de las observaciones de los antiguos artículos de Eichler y de las observaciones de Kneser. El caso de SL(n) no era el foco principal de nada de eso, ya que, a pesar de su no trivialidad, la Aproximación Fuerte para SL(n), incluso sobre campos numéricos, es mucho más fácil que el caso del grupo ortogonal. Quizá pronto ponga en línea una versión de ese argumento, ya que el libro está agotado, y ya no hay versión electrónica...).
En resumen, la razón por la que la versión iconicizada de Platonov-Rapinchuk utiliza la cohomología es para abordar los casos de grupo ortogonal o grupo unitario, y otros con un contenido aritmético más genuino que el que tiene el caso SL(n). Es decir, de nuevo, el caso SL(n) de la Aproximación Fuerte es "trivial" en comparación con el caso de los grupos ortogonales, aunque en sí mismo es mucho más serio que la cuestión de la subjetividad.
[EDIT 2:] Siguiendo la nota de @LYX, efectivamente, para las invocaciones habituales de la Aproximación Fuerte para SL(n), basta la cita de Bourbaki Comm. Alg. de Bourbaki. Como era de esperar, argumenta sobre matrices elementales (por tanto, implícitamente un poco de teoría K), y es puramente algebraica, en el sentido de que la finitud de los campos de residuos es irrelevante. Una invocación "habitual" es saber que SL(n,F_\infty)SL(n,F) es denso en SL(n,\mathbb A_F) para un campo numérico F donde F_\infty es el producto de las terminaciones arquimedianas ( F_\infty=F \otimes_{\mathbb Q} \mathbb R ). La aplicación a las formas automórficas es que los cocientes de este grupo adele son "meramente" cocientes del grupo de Lie SL(n,F_\infty) .
Le site más fuerte versión sustituye a F_\infty con F_v para cualquier lugar v . Es decir, el caso general no suprime especialmente la referencia a los lugares arquimédicos. (El argumento que di en mi libro sobre las formas modulares de Hilbert hizo suprimir los lugares arquimédicos, precisamente por las motivaciones específicas. Sin embargo, "mi" argumento allí se parecía más al punto de vista que se extendería a la afirmación más fuerte. La fecha del Comm. Alg. es de 1985, lo que podría explicar por qué, desde finales de los setenta hasta mediados de los ochenta, no vi ninguna discusión sobre ninguna forma de "Aproximación" aparte de Kneser y Eichler. El artículo de Kneser también menciona a Rosenlicht y Steinberg para discusiones de casos más interesantes que SL(n)).
El artículo de Kneser "Strong Approximation" en la Conferencia de Boulder (Proc Symp Pure Math AMS IX, 1966, pp 187-196 cita a Eichler 1938 J. Reine und Angew. Math "Allgemeine..." como tratamiento del caso del álgebra simple, exceptuando el caso del álgebra de cuaterniones definida (en la que SA no se cumple). Así pues, el caso de Eichler ya era más complicado que SL(n).
En resumen: cualquier forma del caso SL(n) es enormemente más sencilla que los casos de grupos ortogonales u otros. Ya existe una bifurcación para SL(n), a saber, si se suprimen o no los lugares arquimedianos (dando así un resultado "puramente algebraico").
El resultado más delicado puede ser relevante para las "curvas de Shimura", hechas a partir de álgebras de división de cuaterniones sobre campos totalmente reales, divididas en un único lugar real, para saber que la construcción adelic es un único cociente clásico.
