Evaluar la integral: $\int^{0.6}_0\frac{x^2}{\sqrt{9-25x^2}}dx$

Question

Evaluar la integral: $\int^{0.6}_0\frac{x^2}{\sqrt{9-25x^2}}dx$

Creo que mi trabajo es correcto hasta que intento cambiar los límites según theta, $\theta$ .

¿Cómo lo hago? Además, le ruego que comente libremente mi trabajo, es decir, si mi método es correcto y convincente.

Answer 1

Fíjate, dejas que $$x=\frac{3}{5}\sin \theta\implies \theta=\sin^{-1}\left(\frac{5x}{3}\right)$$ entonces

límite superior en $x=0.6$ : $\theta=\sin^{-1}\left(\frac{5\times 0.6}{3}\right)=\sin^{-1}\left(1\right)=\frac{\pi}{2}$

límite inferior en $x=0$ : $\theta=\sin^{-1}\left(\frac{5\times 0}{3}\right)=\sin^{-1}\left(0\right)=0$

tras la sustitución, obtenemos
$$\int_{0}^{0.6}\frac{x^2}{\sqrt{9-25x^2}}\ dx=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\left(\frac{3}{5}\sin\theta\right)^2}{\sqrt{9-9\sin^2\theta}}\frac{3}{5}\cos\theta\ d\theta$$ $$=\frac{9}{25}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^2\theta\cos \theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}}$$

$$=\frac{9}{125}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^2\theta\cos \theta d\theta}{|\cos\theta|}$$ sabemos $|\cos\theta|=\cos \theta\ \ \forall \ \ 0\le \theta \le\pi/2$ $$=\frac{9}{125}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^2\theta\cos \theta d\theta}{\cos\theta}$$ $$=\frac{9}{125}\int_{0}^{\pi/2}\sin^2\theta\ d\theta$$

Answer 2

Al cambiar las variables, ¡también hay que cambiar los límites de integración! :)

$$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{3}{5}\sin \theta }& \to &{\theta = \arcsin \frac{5}{3}x}\\ {x = 0}& \to &{\theta = \arcsin 0 = 0}\\ {x = 0.6}& \to &{\theta = \arcsin 1 = \frac{\pi }{2}} \end{array}\\ \end{array}$$

De hecho, como $x$ varía de $0$ a $0.6$ , $\theta$ varía de $0$ a $\pi \over 2$ . Esta razón por la que también se le permitió escribir $\sqrt {{{\cos }^2}\theta } = \left| {\cos \theta } \right| = \cos \theta $ .