¿cómo explicaría la diferencia entre multiplicación exponencial y multiplicación fraccionaria? $${x^{1/3}}{^{}{}} * {x^{1/3}}{^{}{}} *{x^{1/3}}{^{}{}} * {x^{1/3}}{^{}{}} = {x^{4/3}}$$ ¿Por qué es lo mismo que $$4 * {^{1/3}}$$ Por otra parte $$1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/81$$ Así que en este caso, esto no es lo mismo que $$4 * {{1/3}}$$
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Adrián Naranjo
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En primer lugar, recuerde que $$b^x\cdot b^y=b^{x+y}.$$ Por eso $$x^{1/3}\cdot x^{1/3}\cdot x^{1/3}\cdot x^{1/3}=x^{1/3+1/3+1/3+1/3}=x^{4\cdot 1/3}=x^{4/3}.$$ Por otro lado $$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}.$$
Dependiendo del nivel del alumno, la explicación podría ser la siguiente:
En primer lugar, tenga en cuenta que si $m$ y $n$ son números enteros, entonces podríamos considerar la exponenciación como una multiplicación repetida $$ x^m \cdot x^n = (\underbrace{x\cdot x\cdot \dotsb \cdot x}_{\text{$ m $ times}})\cdot (\underbrace{x\cdot x\cdot \dotsb \cdot x}_{\text{$ n $ times}}) = \underbrace{x\cdot x\cdot \dotsb \cdot x}_{\text{$ m+n $ times}} = x^{m+n}. $$ Esto es un poco mentira (o no; de nuevo, depende de la madurez matemática del público). Esto se puede resolver explícitamente con pequeñas $m$ y $n$ y/o con valores fijos de $x$ (digamos, hacer ejercicio $2^3\cdot 2^5$ a mano).
Entonces, cuando se introducen exponentes fraccionarios, es razonable extender la operación anterior: si $p$ y $q$ son racionales, entonces deberíamos tener $$ x^p\cdot x^q = x^{p+q}. $$ De nuevo, con pequeños $x$ , $p$ y $q$ Esto podría justificarse a mano. Considere $$ 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3}^1 \cdot \sqrt{3}^5 = \sqrt{3}^{5+1} = 3^{\frac{5+1}{2}} = 3^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}}. $$ Esto no es realmente riguroso, pero debería aclarar la idea a los alumnos que no la hayan visto antes. La moraleja es que cuando se multiplican términos con bases semejantes, se suman los exponentes.
Esto contrasta con algo como $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}. $$ Aquí volvemos a utilizar la idea de que la exponenciación puede verse como una multiplicación repetida. Compárese con algo como $$ 3+3+3+3 = 4\cdot 3,$$ que no es lo mismo que $$ 3+3+3+3 = 4+3. $$ Escribir la segunda identidad sería el mismo tipo de error que escribir $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = 4 \cdot \frac{1}{3}. $$
