Teorema de Liouville ¿Resolución de derivadas?

Question

Creo que se trata de un problema del Teorema de Liouville, pero no estoy seguro de cómo resolverlo.

Supongamos que $|f(z)|< |z^2 + 3z +1|$ para todos $z$ y que $f(1) = 2$ . Evalúe $f '(2)$ y explique su respuesta.

Answer 1

Tienes toda la razón en que se trata de un problema del teorema de Liouville. La función

$$g(z) := \frac{f(z)}{z^2 + 3z + 1}$$

(donde $z^2 + 3z + 1 \ne 0$ ) está acotada y tiene una extensión analítica a todo $\mathbb{C}$ por lo que es constante. Esto implica que $f(z)$ es un múltiplo escalar de $z^2 + 3z + 1$ y el hecho de que $f(1) = 2$ te dice cuál es ese múltiplo. Ahora calcular la derivada es un cálculo elemental.

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Como observación, es un buen resultado que siempre que $f$ y $g$ son funciones analíticas de modo que existe una constante $c$ con $|f(z)| \le c |g(z)|$ para todos $z$ , $f$ y $g$ son múltiplos entre sí.