¿Para qué sirve la raíz cuadrada en la fórmula de significación?

Question

Que encontré (véase $^{\dagger}$ aquí p.60) la siguiente fórmula para la significación de la señal: $$S = \frac{\epsilon_S N_S}{\sqrt{\epsilon_S N_S + \epsilon_B(\epsilon_S) N_B}},$$ donde $\epsilon_{S(B)}$ es la eficacia de la señal (fondo) y $N_{S(B)}$ es el número de eventos de señal (fondo). Me pregunto por qué aquí es raíz cuadrada. ¿No sería mejor eliminarla para obtener una significación normalizada? $0 \leq S \leq 1$ ?

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$^\dagger$ Observe la errata (debería ser $N_B$ en el segundo término de la raíz cuadrada).

Answer 1

Consideremos un dato formado por un suceso elemental que denotamos como $\omega$ . Supongamos que se construye un histograma con $k$ papeleras $\{b_1, b_2, ..., b_k\}$ a partir de esos datos con $N_{tot}$ eventos así $$\sum_i n_i = N_{tot},$$ donde $n_i$ es un número de eventos contenidos en la papelera $b_i$ . Supongamos también que se sabe cuántos sucesos debe contener cada recipiente debido al fondo $$n^{(B)}_k = \big|\{\omega\,|\, \omega \in b_k, \omega\text{ is a background event}\}\big|$$ A partir de esos datos sistematizados se puede construir una prueba que estime lo significativa que es la desviación del fondo en cada casilla: $$S_k = \frac{N^{(o)}_k - n^{(B)}_k}{\sigma_{n^{(B)}_k}},\label{sk}\tag{*}$$ donde $N^{(o)}_k$ es el número real (observado) de eventos en el $k$ -th bin.

Teniendo en cuenta que para grandes $n$ en un contenedor $\sigma_n\sim\sqrt{n}$ podemos reescribir la ec.$\eqref{sk}$ como sigue $$S_k = \frac{n^{(S)}_k}{\sqrt{n_k}},$$ donde $n^{(S)}_k$ se interpreta como evento de señal no de fondo.