Si $x = (a^{\sin^{-1}t})^{1/2}$ y $y = (a^{\cos^{-1}t})^{1/2}$ demuestre que $\frac{dy}{dx} = \frac{-y}x$

Question

Si $x = (a^{\sin^{-1}t})^{1/2}$ y $y = (a^{\cos^{-1}t})^{1/2}$ demuestre que $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}x$

He intentado resolver esta suma y no me lleva a ninguna parte, no soy capaz de eliminar a de esta ecuación. Gracias de antemano

Answer 1

Sea $x=a^{\frac12\arcsin(t)}$ y $y=a^{\frac12\arccos(t)}$ .

METODOLOGÍA $1$ :

La diferenciación directa revela

$$\frac{dx(t)}{dt}=x(t)\frac{\log(a)}{2\sqrt{1-t^2}}\tag1$$

y

$$\frac{dy(t)}{dt}=-y(t)\frac{\log(a)}{2\sqrt{1-t^2}}\tag 2$$

A continuación, utilizando $(1)$ y $(2)$ y aplicando la regla de la cadena se obtiene

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{-1}=-y/x}$$

¡como se iba a demostrar!

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METODOLOGÍA $2$ :

Alternativamente, utilizando la identidad $\arcsin(t)+\arccos(t)=\pi/2$ podemos escribir

$$x(t)y(t)=a^{\frac12\left(\arcsin(t)+\arccos(t)\right)}=a^{\pi/4}\tag 3$$

Diferenciación $(3)$ revela

$$x(t)\frac{dy(t)}{dt}+y(t)\frac{dx(t)}{dt}=0$$

reordenando obtenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\frac{dy(t)}{dt}}{\frac{dx(t)}{dt}}=\frac{dy}{dx}=-y/x}$$

¡como era de esperar!

Answer 2

Observe que $$ u:=\ln(xy)^2=\ln a^{\cos^{-1}t+\sin^{-1}t}=(\cos^{-1}t+\sin^{-1}t)\ln a $$ y por lo tanto $$ du=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right)\ln a\,dt=0. $$ Pero $$ du=2d\ln(xy)=2\dfrac{d(xy)}{xy}=2\dfrac{ydx+xdy}{xy}. $$ De ello se deduce que $$ xdy=-ydx, $$ es decir $$ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x} $$

Answer 3

Pista:

$$2\ln(x)=\sin^{-1}t\cdot\ln a$$

$\sin^{-1}t+\cos^{-1}t=\frac\pi2$