Teorema central del límite y ley de los grandes números

Question

Tengo una pregunta para principiantes sobre el Teorema Central del Límite (CLT):

Soy consciente de que la CLT establece que una media de variables aleatorias i.i.d. tiene una distribución aproximadamente normal (para $n \to \infty$ donde $n$ es el índice de los sumandos) o la variable aleatoria estandarizada tendría una distribución normal estándar.

Ahora bien, la Ley de los Grandes Números establece, a grandes rasgos, que la media de variables aleatorias i.i.d converge (en probabilidad o casi con seguridad) a su valor esperado.

Lo que no entiendo es: si, como afirma la CLT, la media se distribuye aproximadamente de forma normal, ¿cómo puede entonces converger también al valor esperado al mismo tiempo?

La convergencia implicaría para mí que con el tiempo la probabilidad de que la media tome un valor que no sea el esperado es casi nula, por lo tanto la distribución no sería realmente una normal sino casi nula en todas partes excepto en el valor esperado.

Cualquier explicación es bienvenida.

Answer 1

Esta figura muestra las distribuciones de las medias de $n=1$ (azul), $10$ (rojo), y $100$ (oro) independientes e idénticamente distribuidos ( iid ) distribuciones normales (de varianza y media unitarias $\mu$ ):

En $n$ aumenta, la distribución de la media se vuelve más "centrada" en $\mu$ . (El sentido de "enfoque" es fácilmente cuantificable: dado cualquier intervalo abierto fijo $(a,b)$ en torno a $\mu$ el importe de la distribución en $[a,b]$ aumenta con $n$ y tiene un valor límite de $1$ .)

Sin embargo, cuando normalizamos estas distribuciones, reescalamos cada una de ellas para que tengan una media de $0$ y una varianza unitaria: todas son iguales entonces. Así es como vemos que, aunque las FDP de las propias medias están subiendo y concentrándose en torno a $\mu$ Sin embargo, cada una de estas distribuciones sigue siendo Normal. forma, aunque difieran individualmente.

El Teorema Central del Límite dice que cuando empiezas con cualquier que tenga una varianza finita, y jugar al mismo juego con medias de $n$ valores iid como $n$ se observa lo mismo: las distribuciones medias se concentran en torno a la media original (Ley Débil de los Grandes Números), pero la estandarizado las distribuciones de medias convergen a una distribución Normal estándar (el Teorema del Límite Central).