Cómo cercano a cero, ¿puede un Dirichlet serie de conseguir?

Question

Supongamos que tengo una integral de Dirichlet de la serie $f(s) = \sum c_n n^{-s}$, $c_n \in \mathbb{Z}$, con al menos uno distinto de cero plazo $c_N$. Supongamos, además, que esta serie converge absoluta y uniformemente para $\mathrm{Re}(s) > 1 + \delta$ cualquier $\delta > 0$ (de modo que $c_n$ crece más lento de lo $n^\epsilon$ cualquier $\epsilon$).

Quiero $f(s)$ a ser "pequeños" (en términos de $N$) fijo $\mathrm{Re}(s)$ y un rango de $\mathrm{Im}(s)$. Pequeño cómo puedo conseguir que sobre cualquier intervalo dado?

Creo que uno puede tomar sumas de $(N + \Delta n)^{-s}$ $\Delta n \approx O(\ln N)$ y cancelar los términos en la serie de Taylor hasta el orden de $N^{-(s + O(\ln N))}$, al tiempo que mantiene los coeficientes polylog en N para $Im(s) \approx O(\ln N)$. Podemos hacer mejor? ¿Qué acerca de los grandes valores de $s$?

Answer 1

Me he referido a una construcción que da pequeños valores de $f(s)$ en un rango determinado de Im(s). Voy a elaborar en la construcción aquí.

Considere la posibilidad de la expansión de Taylor de $(N+x)^{-s}$. Este es

$(N+x)^{-s} = N^{-s} * (1 - \frac{sx}{N} + \frac{s(s+1)x^2}{2N^2} - \ldots )$.

Vamos a truncar esta en algún orden finito $k$, y permitir a $x$ a asumir diferentes valores enteros. Nosotros, a continuación, obtener un número de términos del polinomio en $s$ (veces $N^{-s}$) y queremos una combinación lineal de estos términos a desaparecer para todos los $s$, lo que implica $x$ toma en, al menos, $k$ valores diferentes.

Definir el $c_n$ a ser los coeficientes de esta suma. Nos gustaría que el resto de término de error en la serie de Taylor (los términos de orden $s^{(k+1)}/N^{k+1}$ y superior)$o(N^{-k})$. Esto implica que $\sum c_n (n-N)^{k+1} s^{(k+1)} / k!$$o(N)$. Recuerda que tenemos, al menos, $k-1$ cero términos de esta suma, y por lo tanto existe al menos un $n$$|n-N| \geq (k-1)/2$.

Para asegurarse de que esta suma es $o(N)$, debemos tomar las $k$ $o(\ln N)$ y de manera similar para $s$. Fácilmente podemos encontrar un conjunto de $n$ $c_n$ que mantendrá la suma de $o(N)$ -- creo que el $k$th-fin de diferencia debería funcionar, aunque no estoy seguro.