Ejemplos de ampliación de grupos $G/N=Q$ con continua $G$ y $Q$ pero finito $N$

Question

Podemos tener algunos (nuevos) ejemplos de extensiones de grupo $G/N=Q$ con continuos (por ejemplo, grupos de Lie) $G$ y $Q$ sino una discreta finita $N$ ? Tenga en cuenta que $1 \to N \to G \to Q \to 1$ .

Lo que ya sé contiene:

$$SU(2)/\mathbb{Z}_2=SO(3).$$

$$\frac{\mathbb{R}/{\mathbb{Z}}}{\mathbb{Z}_n}={\mathbb{R}}/{(n\mathbb{Z})}.$$

¿Qué otros ejemplos puede aportar?

Una respuesta sistemática para obtener nuevos ejemplos (unos pocos o incluso una lista) será, por supuesto, bienvenida. ; )

Answer 1

En general, existe una forma de clasificar las extensiones de grupo $1 \to N \to G \to Q \to 1$ para $Q$ y $N$ . Necesita

• un morfismo de grupo $\phi$ de $Q$ a $Out(N)$ (el grupo de automorfismo externo de $N$ ),

• y la clase cohomológica de a $2$ -ciclo en $H^2(Q,Z(N)_{\phi})$ ( $Z(N)_{\phi}$ significa que $Z(N)$ se considera $Q$ -con la acción dada por $\phi$ ).

Puede leer sobre la relación entre las extensiones de grupos y los segundos grupos de cohomología en la obra de Adem y Milgram $\textit{Cohomology of Finite Groups}$ .

Supongo que por $G$ y $Q$ grupos continuos, se refiere a grupos topológicos. Hasta donde yo sé, una vez que se le da tal extensión, donde $N$ es finito y $Q$ es un grupo topológico sólo hay una forma de extender la topología, lo mismo ocurre con un grupo de Lie. Esto viene del hecho de que siempre que tengamos $1 \to N \to G \to Q \to 1$ donde $N$ es finito y $G$ y $Q$ son grupos topológicos, el mapa de proyección $G\to Q$ es necesariamente una cubierta topológica.

Editar : como está escrito en el comentario de abajo, también es necesario añadir la condición de que $\phi$ es continua para garantizar que $G$ es un grupo topológico (aquí $N$ tiene la topología discreta).

Answer 2

Sea $G = Q = \{z; z \in \Bbb C, \left| z \right| = 1\}$ y $N = \{1,-1\}$ .