Convergencia y convergencia uniforme de $f_n(x)$

Question

La secuencia de funciones dada se define como $f_n(x) = \frac{x^n}{n+x^n}$ para $x\ge 0$ y $n = 1,2,\ldots$ dejar $f = \begin{cases} 0 &:0\le x \le 1\\ 1 &:x>1 \end{cases}$

Mi hipótesis es que $f_n\to f$ de forma puntual, pero no uniforme (la función $f$ no se dio, lo he definido). He conseguido mostrar $f_n \to f$ puntualmente en $[0,1]$ pero tengo dificultades para demostrar la convergencia para $x>1$ . Mi corazonada es que el $N$ que elijamos debe depender de $\epsilon$ y $x$ (por lo que también creo $f_n$ no converge uniformemente), pero no consigo encontrar un $N$ . Agradeceríamos cualquier sugerencia.

Answer 1

Convergencia puntual para $x>1$ se deduce de $$\lim_{n\to+\infty} \frac{x^n}{n+x^n}=1,$$ desde $x^n$ crece exponencialmente con la base $x>1$ por lo que domina para grandes $n$ : $$\frac{n+1}{x^{n+1}}\Big/ \frac{n}{x^n}= \frac{n+1}{nx}<1$$ para cualquier $n$ tal que $n>1/(x-1)$ . Sea $n_0$ el mínimo $n$ tal que $n>1/(x-1)$ . Así, para cualquier $n\geq n_0$ tiene $$\frac{n+1}{x^{n+1}}\Big/ \frac{n}{x^n}= \frac{n+1}{nx}<1,$$ de ahí $$\frac{n_0+m}{x^{n_0+m}}\Big/ \frac{n_0}{x^{n_0}}\leq \left(\frac{n_0+1}{n_0x}\right)^m.$$ Fijar $\epsilon>0$ : $$\frac{n_0+m}{x^{n_0+m}}\leq \frac{n_0}{x^{n_0}}\left(\frac{n_0+1}{n_0x}\right)^m<\epsilon$$ siempre que $m>\log_{\frac{n_0+1}{n_0x}} (\epsilon \frac{x^{n_0}}{n_0})$ .

También tienes razón sobre la convergencia no uniforme: fija un $\epsilon>0$ si se cumple la convergencia uniforme, entonces existe $N$ tal que para cualquier $n\geq N$ , $\sup_x|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ . Sin embargo, para cualquier $n$ tienes $$\lim_{x\to 1^+} 1-\frac{x^n}{n+x^n} = \lim_{x\to 1^+} \frac{n}{n+x^n} =\frac{n}{n+1}.$$

Answer 2

Para $x>1$ tenemos $\frac{x^n}{x^n+n}=\frac{1}{1+(\frac{n^{1/n}}{x})^n} \in \left[\frac{1}{1+(\frac{1+(x-1)/2}{x})^n},1\right] = \left[\frac{1}{1+a^n},1\right]$ para un $n$ donde $a=\frac{1+(x-1)/2}{x}<1$ . Además, por el teorema de Squeeze, $\frac{x^n}{x^n+n}$ converge a 1.

Entonces $(x_n)=(n^{1/n})>(0)$ . Pero $f_n(x_n)=(\frac{1}{2})$ no converge a 1.

De hecho, si ya has aprendido que "las funciones continuas que convergen uniformemente deben converger (también puntualmente) a una función continua", entonces puedes concluir inmediatamente que la convergencia no era uniforme, porque $f$ no es continua.