dim $ker(T-\lambda)\le1$ para todos $\lambda$ en $\mathbb{C}$ $\iff$ $\exists h\in \mathbb{H} \ s.t. \ h$ es un vector cíclico para $T$ .

Question

Sea $T$ sea un operador normal compacto en a $\mathbb{C}$ -Espacio de Hilbert, $\mathbb{H}$ .

dim $ker(T-\lambda)\le1$ para todos $\lambda$ en $\mathbb{C}$ $\iff$ $\exists h\in \mathbb{H} \ s.t. \ h$ es un vector cíclico para $T$ .

He descubierto el $\Leftarrow$ parte.

Sea $P$ sea la proyección sobre el tramo cerrado de $\{(T-\lambda)^nh;n\ge1\}$ , $x=h-Ph$ .

Entonces $h\in \mathbb{C}x\oplus P\mathbb{H}$ , $ker(T-\lambda)=r(T-\lambda)^\perp\subseteq P\mathbb{H}^\perp=\mathbb{C}x $

para la $\Rightarrow$ parte, sólo supongo que tal vez cada $h\ s.t.$ cuya proyección sobre cada eigespacio es distinta de cero es un vector cíclico. Y demuestro que si un vector es una combinación lineal finita de vectores propios, entonces no es vertical al espacio cerrado de $\{T^nh;n\ge0\}$ . Por lo tanto, si el rango de $T$ es de dimensiones infinitas, ¿qué debo hacer?

Answer 1

Por los supuestos, hay distintos valores propios distintos de cero $(\lambda_k)$ con vectores propios unitarios $(e_k)$ . Permítanme asumir en esta respuesta, que la secuencia $(|\lambda_k|)$ disminuye. Esto implica que $|\lambda_i + \lambda_j| < 2|\lambda_i|$ para todos $i\le j$ . Si $N(T)\ne\{0\}$ entonces $e_\infty$ sea un vector unitario en $N(T)$ de lo contrario, que $e_\infty$ sea cero.

Defina $$ h:=e_\infty + \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} e_k. $$ Establecer $W:=closure(span\{T^jh: \ j\in\mathbb N\})$ .

Permítanme mostrar que $(2\lambda_1)^{-j} (T+\lambda_1I)^jh\rightharpoonup e_1$ . Para fijos $k$ tenemos $$ \langle (2\lambda_1)^{-j} (T+\lambda_1I)^jh, e_k\rangle = \frac1{k^2} \left(\frac{\lambda_k+\lambda_1}{2\lambda_1}\right)^j \to \begin{cases} 1 & \text{ if } k=1\\ 0&\text{ if } k>1.\end{cases} $$ Además $\langle(2\lambda_1)^{-j} (T+\lambda_1I)^jh, e_\infty\rangle=0$ para $j\ge1$ . Esto demuestra $(2\lambda_1)^{-j} (T+\lambda_1I)^j h\rightharpoonup e_1$ y puesto que $W$ es débilmente cerrado, $e_1\in W$ . Del mismo modo, se puede demostrar $$ (2\lambda_2)^{-j} ( (T+\lambda_2 I)^j h - (\lambda_1+\lambda_2)^je_1)\rightharpoonup e_2. $$ Entonces $e_k \in W$ para todos $k$ lo que demuestra $R(T)\subset W$ .

Por lo tanto $e_\infty = h - \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} e_k \in W$ . Esto demuestra $h$ es un vector cíclico.