Campos de fracciones

Question

En mi libro de texto hay un teorema que dice así:

Sea $D$ sea un dominio integral. Entonces $D$ puede incrustarse en un campo de fracciones $F_D$ donde cualquier elemento de $F_D$ puede expresarse como el cociente de dos elementos en $D$ . Además, el campo de las fracciones $F_D$ es único en el sentido de que si $E$ es cualquier campo que contenga $D$ entonces existe un mapa $\phi : F_D \rightarrow E$ dando un isomorfismo con un subcampo de $E$ tal que $\phi (a) = a$ para todos los elementos $a\in D$ .

No entiendo lo que significa decir que $D$ puede incrustarse en el campo de las fracciones. Es que no entiendo qué significa la palabra "incrustado", ¡mi libro no la define!

¿Y qué significa decir que el campo de las fracciones $F_D$ ¿es único? ¿Qué quieren decir con eso?

Además, no entiendo la "importancia" de este teorema. Me parece muy aleatorio y salido de la nada. ¿Alguien me lo puede aclarar?

Perdón si es una pregunta estúpida, pero realmente no entiendo esto en este momento, a pesar de haber intentado y probado durante horas. Lo que lo hace peor es que me encanta el álgebra abstracta y realmente quiero dominar estos conceptos, ¡pero por el momento no lo hago!

Answer 1

Incrustar, en este contexto, significa que hay un homomorfismo inyectivo (es decir, que preserva la estructura) $\phi : D \to F_D$ . Por ejemplo $D = \mathbb Z$ y $F_D = \mathbb Q$ . Puede considerar $$\begin{align}\phi : \mathbb Z &\to \mathbb Q\\ a &\mapsto \frac{a}{1}\end{align}$$

Observe que $\mathbb Q$ son los campos de fracción de $\mathbb Z$ a través de la relación $$(a,b)\sim(a',b') \iff a\cdot b' = a' \cdot b$$

Answer 2

Un dominio integral $D$ no es un campo, por lo que cabe preguntarse qué elementos debemos introducir/adjuntar a $D$ para convertirlo en un campo. El teorema afirma que el campo de fracciones $F_D$ (véase su texto para la definición) no es sólo un campo que contiene $D$ pero también es el "único más pequeño", ya que cualquier otro campo que contenga $D$ tendrá algún subcampo que sea isomorfo a $F_D$ .

Answer 3

Decir que $X$ puede incrustarse en $Y$ significa que existe una inyección (natural) que preserva la estructura $X\to Y$ . En su caso, la incrustación de $D\to F_D$ es el mapa \begin{equation*} d\mapsto \frac{d}{1}. \end{equation*} Puede utilizar la definición de $F_D$ junto con el hecho de que $D$ es un dominio para demostrar que se trata de una inyección.

Ahora bien, si $E\supseteq D$ es un campo que contiene $D$ entonces cada elemento de $D$ es invertible en $E$ de modo que $E$ también contiene un subcampo $F$ isomorfo de $F_D$ . $F$ es el subcampo más pequeño de $E$ que contiene $D$ y los inversos de todos los elementos no nulos de $D$ en $E$ . Existe claramente un mapa natural desde $F_D\to F$ dado por $$ \frac{a}{b}\mapsto ab^{-1}.$$ Así $F_D$ es única hasta el isomorfismo.