¿Cuál es la cardinalidad más pequeña que puede tener una topología que sea c.c.c pero no separable (en ZFC)?

Question

¿Cuál es la cardinalidad más pequeña que puede tener una topología que sea c.c.c pero no separable (en ZFC)?

Answer 1

Si por "cardinalidad de la topología" se entiende "cardinalidad del espacio subyacente" entonces la respuesta es $\aleph_1$ . Sea $2^{\omega_1}$ sea el producto de $\omega_1$ muchas copias del espacio discreto de 2 puntos y considerar el subconjunto $X \subset 2^{\omega_1}$ formado por todos los puntos con a lo sumo un número finito de entradas distintas de cero. Dado que $X$ es denso en el espacio separable $2^{\omega_1}$ , $X$ es ccc, pero es fácil ver que $X$ no es separable. Ahora $X$ tiene cardinalidad $\aleph_1$ .

Si por "cardinalidad de la topología" entiendes "cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos abiertos", entonces depende. Si no te importa que tus espacios sean Hausdorff, entonces la respuesta es otra vez $\aleph_1$ basta con considerar la topología en $\omega_1$ formado por todos los segmentos finales y el conjunto vacío. Si quieres que tus espacios sean Hausdorff, ten en cuenta que todo espacio infinito Hausdorff tiene al menos un número continuo de conjuntos abiertos distintos (basta con tomar una familia infinita contable disjunta por pares de conjuntos abiertos no vacíos y considerar todas las uniones posibles). Pero, en realidad, hay un espacio ccc no separable con exactamente un número continuo de conjuntos abiertos en ZFC. Se trata de Justin Moore Espacio L (un ejemplo de espacio regular hereditariamente Lindelof no separable). Este espacio es ccc porque es hereditariamente Lindelof y es un subespacio del producto de $\omega_1$ muchas copias del círculo, y por lo tanto tiene una base de cardinalidad $\aleph_1$ . Como es hereditariamente Lindelof, cada conjunto abierto es la unión de un número contable de conjuntos abiertos de esa base. Por lo tanto, tiene como máximo un número continuo de conjuntos abiertos. Así que el número mínimo de conjuntos abiertos de un espacio no separable Hausdorff ccc es continuo.

Answer 2

El forzamiento $\text{Add}(\omega,\aleph_1)$ añadir $\aleph_1$ muchos reales de Cohen es c.c.c. pero no separable, y tiene tamaño $\aleph_1$ cuando se considera como un poset y no como un álgebra booleana completa. Este poset es el conjunto de funciones parciales finitas de $\omega_1$ a $2$ ordenados por extensión.

Pero todo espacio contable es por supuesto separable, así que la respuesta es $\aleph_1$ .

Answer 3

Esto puede serle útil:

Sea $X$ sea un espacio con $|X|= \aleph_1$ , dejemos que $\tau_X= \lbrace U: X\setminus U \text{ is countable } \rbrace$ . Este espacio es CCC, pero no separable.

Prueba: $X$ no es separable: para cualquier conjunto contable $A \subset X$ claramente, $U=X\setminus A$ está abierto y $U \cap A=\emptyset$ .

$X$ es CCC: si $X$ tiene conjuntos abiertos disjuntos incontables $\lbrace \cal U_\xi: \xi \in \aleph_1\rbrace$ . Elige un conjunto abierto, por ejemplo, $U_0$ . Porque $X \setminus U_0$ es incontable, es una contradicción con $U_0$ está abierto.