funciones que satisfacen "one-one iff onto"

Question

Hola a todos.

Necesito más ejemplos para el siguiente fenómeno realmente interesante:

   A function from the class ... is one-one iff it is onto. 

Algunos ejemplos que conozco:

1) Caso de los conjuntos finitos: funciones de $\lbrace 1,2,\dots,n\rbrace$ a sí mismo es uno-uno si onto.

2) Operadores lineales $T\colon V\rightarrow V,$ donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita también es uno si onto.

3) Los operadores lineales del tipo (I-K) donde K es algún operador compacto que actúa sobre un espacio de Banach satisfacen esta propiedad. Este es el famoso resultado de Fredholm.

Es muy fácil encontrar dominios en los que falle el resultado.

Recuerdo que mi profesor me dijo que "la compacidad es lo más parecido a la finitud", por lo que este resultado, que es trivial en el caso finito, sólo puede darse en el caso compacto. Me gustaría saber si realmente es así o si hay algún otro ejemplo.

Gracias de antemano.

EDIT: Viendo algunas respuestas, he pensado que es mejor ampliar el alcance de la pregunta.

¿La inyección (suryección) implica suryección (inyección) e isomorfismo/isometría? (es decir, suponiendo uno-uno puedo obtener ontoness y propiedades de preservación de la estructura libre)

Answer 1

Sea $G$ sea un grupo discreto, y sea $T:\ell^2(G)\to \ell^2(G)$ sea un operador lineal acotado que conmuta con todas las traslaciones derechas: es decir, si $\xi\in \ell^2(G)$ y $g\in G$ puis $T(\xi\cdot g) =T(\xi)\cdot g$ . (En otras palabras, $T$ pertenece al grupo álgebra de von Neumann). Entonces, si $T$ es suryectiva, es invertible.

Esto resulta de combinar un resultado de Kaplansky con el hecho de que $C^\ast$ -son inversamente cerradas al contener $C^\ast$ -álgebras. Mi opinión es que el resultado es folclore tácito, pero en cualquier caso se deduce por dualidad de Teorema 3.2 de este documento .

Answer 2

Esto se refiere al "mayor alcance" de la pregunta y posiblemente a los comentarios de Uday sobre la respuesta de Donu: Un morfismo inyectivo de una variedad algebraica afín sobre un campo algebraicamente cerrado a sí misma también es suryectivo. Además, probablemente aún más sorprendente es el hecho de que en el caso de que el campo tenga característica cero (y por supuesto algebraicamente cerrado), un endomorfismo inyectivo es en realidad un automorfismo polinómico (es decir, ¡el inverso es también un mapa polinómico!). Véase, por ejemplo, el capítulo 4 del libro de van den Essen "Polynomial Automorphisms" para las pruebas de estas dos afirmaciones. También del mismo libro: el mapa $x \mapsto x^3$ de $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ muestra la necesidad de la cerrazón algebraica del campo, y el automorfismo de Frobenius $x \mapsto x^p$ de un campo algebraicamente cerrado de característica $p > 0$ muestra que la segunda afirmación es falsa para la característica positiva. Obsérvese también que ambas afirmaciones son automáticamente verdaderas para las variedades propias.

Answer 3

Los mapas de multiplicación de módulos sobre un Anillo Artin tienen esta propiedad. Los anillos de Artin generalizan de forma similar tanto los conjuntos finitos como los espacios vectoriales.

Answer 4

Si $G \subset \mathbb{C}^n$ es un dominio y $f: G \mapsto \mathbb{C}^n$ es un mapeo holomorfo inyectivo, entonces también $f(G)$ es un dominio y $f: G \mapsto f(G)$ es biholomorfa.

Esto se deduce del hecho de que, bajo los mismos supuestos, si $f$ es inyectiva, entonces det $J_f(z) \ne 0$ para cada $z \in G$ . ( $J_f$ denota el jacobiano complejo).

Answer 5

En Conjetura de Dixmier implica una declaración aún más contundente. Sea $A_n$ sea el álgebra de Weyl, que es el álgebra de los operadores diferenciales polinómicos sobre $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$ . La conjetura es que cualquier mapa algebraico $f:A_n \to A_n$ es un isomorfismo. (Por supuesto, no es difícil ver que $A_n$ no tiene ideales de dos caras, por lo que cualquier $f$ es automáticamente inyectiva).

Recientemente se ha demostrado que la conjetura de Dixmier es establemente equivalente a la conjetura de Conjetura jacobiana en el sentido de que si una conjetura es cierta para todo $n$ entonces también lo es el otro. (Las referencias se dan en la página de wikipedia).