funciones que satisfacen "one-one iff onto"

Question

Hola a todos.

Necesito más ejemplos para el siguiente fenómeno realmente interesante:

   A function from the class ... is one-one iff it is onto. 

Algunos ejemplos que conozco:

1) Caso de los conjuntos finitos: funciones de $\lbrace 1,2,\dots,n\rbrace$ a sí mismo es uno-uno si onto.

2) Operadores lineales $T\colon V\rightarrow V,$ donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita también es uno si onto.

3) Los operadores lineales del tipo (I-K) donde K es algún operador compacto que actúa sobre un espacio de Banach satisfacen esta propiedad. Este es el famoso resultado de Fredholm.

Es muy fácil encontrar dominios en los que falle el resultado.

Recuerdo que mi profesor me dijo que "la compacidad es lo más parecido a la finitud", por lo que este resultado, que es trivial en el caso finito, sólo puede darse en el caso compacto. Me gustaría saber si realmente es así o si hay algún otro ejemplo.

Gracias de antemano.

EDIT: Viendo algunas respuestas, he pensado que es mejor ampliar el alcance de la pregunta.

¿La inyección (suryección) implica suryección (inyección) e isomorfismo/isometría? (es decir, suponiendo uno-uno puedo obtener ontoness y propiedades de preservación de la estructura libre)

Answer 1

Un endomorfismo suryectivo de un grupo finito residualmente generado es un isomorfismo.

Answer 2

Si $A$ es un anillo y $M$ es una $A$ -entonces un $A$ -endomorfismo de módulo $f:M\rightarrow M$ es suryectiva si es un isomorfismo.

Answer 3

Sea $G$ ser un sofic (véase artículo de encuesta de Pestov para la definición y varios resultados): todos los grupos amenos son sóficos, al igual que todos los grupos libres, y no se conoce ningún grupo que no sea sófico. Sea $X=\{0,1\}^G$ con la topología del producto y que $f: X \to X$ sea una función continua que también es una $G$ -mapa, aquí $G$ actúa sobre $X$ por turnos. Entonces, si $f$ es inyectiva, es automáticamente suryectiva - esta es la solución parcial de Gromov a la conjetura de Gottschalk sobre la suryuntividad, que creo que también se menciona en el artículo de Pestov.

Ahora bien, esto no es lo que pedía su pregunta, pero si ahora nos fijamos en $C(X)$ y el homomorfismo de álgebra inducido $f^* : C(X) \to C(X)$ entonces

$f^*$ surjective $\iff$ $f$ es inyectiva (Tietze/Urysohn) $\iff$ $f$ es biyectiva (arriba) $\iff$ $f^*$ biyectiva (Tietze/Urysohn)

Answer 4

Sea $R$ ser un el anillo perfecto . Entonces un endomorfismo en una izquierda finitamente presentada $R$ -es inyectivo si y sólo si es suryectivo: referencia .

Answer 5

Si $f : S \to S$ conserva el volumen y $S \subseteq \mathbb{R}^n$ tiene volumen finito, entonces f es inyectiva si f es suryectiva.

Existe una demostración muy elegante del teorema de Koebe-Andreev-Thurston (que figura en el libro sobre geometría combinatoria de Agarwal y Pach) que utiliza esta propiedad.