funciones que satisfacen "one-one iff onto"

Question

Hola a todos.

Necesito más ejemplos para el siguiente fenómeno realmente interesante:

   A function from the class ... is one-one iff it is onto. 

Algunos ejemplos que conozco:

1) Caso de los conjuntos finitos: funciones de $\lbrace 1,2,\dots,n\rbrace$ a sí mismo es uno-uno si onto.

2) Operadores lineales $T\colon V\rightarrow V,$ donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita también es uno si onto.

3) Los operadores lineales del tipo (I-K) donde K es algún operador compacto que actúa sobre un espacio de Banach satisfacen esta propiedad. Este es el famoso resultado de Fredholm.

Es muy fácil encontrar dominios en los que falle el resultado.

Recuerdo que mi profesor me dijo que "la compacidad es lo más parecido a la finitud", por lo que este resultado, que es trivial en el caso finito, sólo puede darse en el caso compacto. Me gustaría saber si realmente es así o si hay algún otro ejemplo.

Gracias de antemano.

EDIT: Viendo algunas respuestas, he pensado que es mejor ampliar el alcance de la pregunta.

¿La inyección (suryección) implica suryección (inyección) e isomorfismo/isometría? (es decir, suponiendo uno-uno puedo obtener ontoness y propiedades de preservación de la estructura libre)

Answer 1

Tom Leinster hablaba de esto aquí

Answer 2

Si $A$ es un anillo noetheriano, entonces un homomorfismo de anillo $f: A \to A$ es suryectiva si es un isomorfismo.

(véase la respuesta aceptada de este pregunta )

Answer 3

Aunque tiendo a rehuir las preguntas de lista, ésta es más divertido de contemplar que la pila de exámenes que tengo ahora mismo sobre la mesa.

Tomemos una superficie de Riemann compacta $X$ con género $g\ge 2$ . Un mapa auto mapa $f:X\to X$ es necesariamente un isomorfismo. Demostración: La subjetividad es automática, por ejemplo, el teorema del mapa abierto. Si $f$ no fuera inyectiva, entonces tendría un grado $d>1$ . Pero la fórmula de Riemann-Hurwitz daría $g-1\ge d(g-1)$ lo cual es imposible.

Answer 4

(editado ligeramente) Un mapa continuo uno a uno entre dos compactos $n$ -que tengan igual número de componentes debe ser onto, y de hecho un homeomorfismo.

La imagen de cualquier componente conexa debe ser conexa, abierta (por invariancia de dominio) y cerrada (por compacidad), y por tanto debe ser una componente.

Answer 5

Uday preguntó por la doble implicación "one-to-one iff onto". He aquí una observación sobre la relación entre los dos sentidos de implicación, extraída de aquí .

Sea $\mathbf{M}$ sea una categoría cerrada simétrica monoidal. (Esto es exagerado, pero no intentaré ser más preciso.) Supongamos que tenemos en $\mathbf{M}$ dos clases distinguidas de mapa, llamadas las "inyecciones" y las "suryecciones", con las dos propiedades siguientes: (i) si $s\colon X \to Y$ es una suryección, entonces para todo $Z$ el mapa inducido $$ s^*\colon \mathbf{Hom}(Y, Z) \to \mathbf{Hom}(X, Z) $$ es una inyección, y (ii) cualquier suryección con un inverso a la izquierda es un isomorfismo. Supongamos, por último, que todo endomorfismo inyectivo en $\mathbf{M}$ es un isomorfismo. Entonces cada surjective endomorfismo en $\mathbf{M}$ es un isomorfismo.

Prueba: sea $s\colon X \to X$ sea un endomorfismo suryectivo. Entonces $s^*\colon \mathbf{Hom}(X, X) \to \mathbf{Hom}(X, X)$ es un endomorfismo inyectivo y, por tanto, un isomorfismo. De ello se deduce que existe $t\colon X \to X$ tal que $s^*(t) = 1_X$ Eso es, $t\circ s = 1_X$ . Pero entonces $s$ es una suryección con inversa a la izquierda, por lo que $s$ es un isomorfismo.

Las hipótesis se cumplen en la categoría de conjuntos finitos, la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita y la categoría de espacios métricos compactos. En el último caso, los mapas son los mapas de distancia decreciente (en sentido débil), "inyección" debe interpretarse como "isometría en", y "suryección" tiene su significado habitual.

En particular, si ya sabemos que toda isometría de un espacio métrico compacto a sí mismo es suryectiva, podemos deducir que toda suryección decreciente de un espacio métrico compacto a sí mismo es una isometría.