Demuestra que $\lim [(2n)^\frac{1}{n})] = 1$

Question

Demostrar que $\lim ((2n)^\frac{1}{n}) = 1$ .

He obtenido lo siguiente:

$$(2n)^\frac{1}{n} = 1 + k_{n}; n > 1$$ $$(2n) = (1 + k_{n})^n$$

Por el Teorema Binomial: $$(1 + k_{n})^n = 1 + k_{n} + \frac{1}{2}n(n-1)k_{n}^2 + ...$$

Así que $$2n > \frac{1}{2}n(n-1)k_{n}^2$$ $$k_{n} < \frac{2}{\sqrt{n-1}}$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo simplificar esto para mostrar $\frac{2}{\sqrt{n-1}} < \varepsilon, \forall \varepsilon > 0$ por ejemplo, invocando say $\frac{2}{\sqrt{n-1}} < \frac{1}{n} < \varepsilon$

Answer 1

$$1<(2n)^{\frac{1}{n}}<1+\frac{2}{\sqrt{n}}$$ funciona porque por el teorema del binomio obtenemos: $$\left(1+\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^n>1+2\sqrt{n}+\frac{4}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2}=2\sqrt{n}+2n-1>2n.$$ Ahora, $\frac{2}{\sqrt{n}}<\epsilon$ para $n>\frac{4}{\epsilon^2}.$

Answer 2

Demostraré un bonito teorema que en mi país se conoce como el criterio de Cauchy-D'Alembert(aún no he encontrado referencias al mismo en inglés,así que si tienes alguna te agradecería que la compartieras conmigo).
Teorema : Sea $(x_n)$ sea una sucesión de números reales estrictamente positivos tal que $\exists \lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$ . Entonces tenemos $\lim \limits_{n\to \infty} \sqrt[n] x_n =\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$
Prueba : Denote $L=\lim \limits_{n\to \infty} \sqrt[n] x_n$
$=>\ln L=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\ln x_n}{n}=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\ln x_{n+1}-\ln x_n}{n+1-n}=\lim \limits_{n\to \infty}\ln\frac{x_{n+1}}{x_n}$ (He utilizado el teorema de Stolz-Cesaro).
Por lo tanto, $L=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$ .
Ahora, en tu problema tenemos $x_n=2n$ . Utilizando el teorema anterior, tenemos fácilmente que $\lim \limits_{n\to \infty}\sqrt[n] {2n}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{2n+2}{2n}=1$ .

Answer 3

$$(2n)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\log(2n)}$$ Desde ${\frac{1}{n}\log(2n)}\longrightarrow 0$ entonces $ {(2n)^{\frac{1}{n}}} \longrightarrow 1$

Answer 4

Pista: $$\lim (2n)^{\frac{1}{n}}=\lim e^{\frac{\ln(2n)}{n}}.$$