¿Cuál es la forma de ver $S^1\times S^1/(S^1\vee S^1)\simeq S^2$? Incluso una intuitiva tutorial. No puedo visualizar este cociente en mi cabeza.
Respuestas
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Usted puede ver $S^1\times S^1$ como un toro que puede ser representada por un rectángulo con los bordes opuestos identificado con la misma orientación (ver más abajo).
$\hspace{4.5cm}$
Ahora $S^1\vee S^1$, la cuña de la suma de dos círculos, es precisamente el límite de este rectángulo (las cuatro esquinas están identificados con un único punto, que es el punto donde los dos círculos se unen). Esto puede ser más claro para ver en el toro (ver a continuación).
$\hspace{5.8cm}$
Por lo $(S^1\times S^1)/(S^1\vee S^1)$ es el rectángulo donde se identifica el límite completo con un solo punto; esta es una manera de ver las dos dimensiones de la esfera, como la de un punto de compactification de $\mathbb{R}^2$.
John R. Strohm
Puntos
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Como alternativa, se puede usar la mínima CW complejo de la estructura de la esfera para mostrar el siguiente resultado más fuerte: $$ (S^n \times S^m) / (S^n \vee S^m) = S^{n+m}. $$
$S^n$ tiene un $0$-célula y un $n$-célula. $S^m$ tiene un $0$-célula y un $m$-célula. Por lo tanto, el producto $S^n \times S^m$ tiene un celular en cada una de las dimensiones $0$, $n$, $m$, $n + m$.
Podemos identificar a $S^n \vee S^m$ con el resultado de unir las $n$ $m$- de las células a la $0$-célula. Por el colapso de $S^n \vee S^m$ a un punto, nos quedamos con un $0$-célula y un $(n+m)$-célula. Esto es $S^{n+m}$.
