Intuición tras los puntos genéricos de un esquema

Question

En un esquema, cada punto es un punto genérico de su cierre. En particular, cada punto cerrado es un punto genérico de sí mismo (el conjunto que sólo lo contiene a él), pero eso quizá tenga poco interés. Un punto que no es cerrado, es probablemente más interesante, y no hay tal cosa en las variedades ordinarias.

Lo que me he estado preguntando es que debe haber una buena razón para que se llamen puntos genéricos. Esto es lo que he conseguido hasta ahora:

• Un punto genérico no cerrado no es cerrado, por lo que no puede ser recortado del esquema por ninguna ecuación polinómica en ningún parche afín, y por lo tanto no posee ninguna propiedad algebraica extra que no sea compartida por otros.
• Un punto genérico no cerrado no es una especialización del esquema.

¿Son correctos? Si no, ¿cuál es la intuición correcta? Además, ¿puede precisarse más la siguiente afirmación utilizando el lenguaje de puntos genéricos ?

• Un título $n$ y un título genérico $m$ las curvas algebraicas se intersecan en $n \cdot m$ puntos distintos en $\mathbb{P}^2$ (el teorema de Bezout plano)
• Soluciones comunes de $n$ sistemas polinómicos en $n$ variables con genérico coeficientes complejos en $\mathbb{C}^\ast$ están todos aislados. (corolario del teorema de la homotopía del tramposo)
• El número de soluciones aisladas comunes de $n$ sistemas polinómicos en $n$ variables con genérico coeficientes complejos en $\mathbb{C}^\ast$ es igual al volumen mixto de los politopos de Newton del sistema. (Teorema de Bernshtein)
• Genérico los puntos de un esquema no reducido tienen estructura isosingular (es decir, en todos esos puntos el anillo local no se reduce exactamente de la misma manera).

En cada caso estoy familiarizado con el significado original de la palabra genérico pero me pregunto si podemos establecer las condiciones de genericidad utilizando el concepto de puntos genéricos de regímenes.

Answer 1

Mi opinión favorita sobre los puntos genéricos se encuentra en el libro de Mumford: Variedades proyectivas complejas en la página 2. Dice más o menos lo siguiente:

Definición : Sea $k \subset \mathbb{C}$ sea un subcampo de los números complejos y $V$ una variedad compleja afín. Un punto $x \in V$ es $k$ -genérico si todo polinomio con valores en $k$ que desaparece en $x$ desaparece en todos los $V$ .

Propuesta : Si $\mathbb{C}/k$ tiene grado trascendental infinito, entonces toda variedad $V$ tiene un $k$ -punto genérico.

Prueba: Ampliar $k$ por todos los coeficientes de un conjunto finito de ecuaciones para $V$ . Tenga en cuenta que $\mathbb{C}/k$ tiene aún infinito grado trascendental. Pero ahora $V$ se convierte en una variedad más $k$ de forma canónica. El campo de funciones $L$ de $V$ es un $k$ -extensión de grado trascendental finito, y por tanto puede incrustarse en $\mathbb{C}$ . Las imágenes de la función de coordenadas $X_i \in L$ sur $\mathbb{C}$ dan las coordenadas de a $k$ -punto genérico.

Para la relación con el punto genérico $\eta \in V$ de la teoría de esquemas observe lo siguiente:

• Si definimos un $k$ -topología de Zariski en $V(\mathbb{C})$ definido por polinomios sobre $k$ , a $k$ -punto genérico $x$ será no cerrado con cierre $V$ .
• El campo $K(x)/k$ generado por los coeficientes de $x$ es canónicamente isomorfo al campo de funciones $L=K(V)$ que es el campo de residuos del punto genérico $K(\eta)$ .

Desde una perspectiva abstracta, el campo de funciones $L=K(\eta)$ es tan bueno como $K(x)$ si no mejor, porque no depende de elecciones. Además, todos $k$ -las operaciones algebraicas lineales no pueden diferenciar entre $\eta$ y $x$ .

Answer 2

Mi intuición informal de un punto genérico es muy parecida a la tuya. En primer lugar, ¿cómo distinguimos los puntos no genéricos? He aquí una regla sencilla: si las coordenadas de este punto satisfacen una relación algebraica, entonces este punto no es genérico. En otras palabras, si un punto está en el conjunto cero de un polinomio distinto de cero, entonces no debe ser genérico. Podemos darle la vuelta y afirmar que un punto es genérico si no está contenido en el conjunto cero de ningún polinomio distinto de cero. Si pensamos de forma teórica, un punto genérico no es realmente un punto. Una vez que se nombra un punto, deja de ser genérico.

En cuanto al teorema de Bezout que establece que un poynomio genérico de grado $n$ tienen $n$ esto debe entenderse de la siguiente manera: polinomios en un subconjunto abierto Zariski del conjunto grado $n$ -tienen exactamente $n$ raíces. El complemento de este conjunto abierto es Zariski cerrado por lo que está cortado por un número finito de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, para el grado $2 $ polinomios $az^2+bz+c$ la condición $b^2- 4ac\neq 0$ describe un conjunto abierto Zariski de polinomios cuadráticos con dos raíces distintas. Nótese que, teóricamente, los subconjuntos cerrados de Zariski tienen medida (de Lebesgue) cero, de modo que, con "probabilidad" $1$ un título $n$ -tiene exactamente $n$ -raíces.

Para el teorema de Bernshtein, las condiciones genéricas se describieron explícitamente en un artículo relacionado de Varchenko.