¿Existe una clasificación de los subconjuntos abiertos del espacio euclídeo hasta el homeomorfismo?

Question

Espero que esta pregunta sea lo suficientemente razonable como para tener una respuesta bien conocida. es decir, o bien hay un invariante simple (como los grupos de homotopía) que caracteriza el tipo de homeomorfismo de dicho conjunto entre otros conjuntos de este tipo o hay una explicación de por qué dicha clasificación es difícil. resultados parciales, como el hecho bien conocido de que cada dos subconjuntos abiertos conectados y simplemente conectados del plano son homeomórficos, sería interesante también. gracias.

Answer 1

Los subconjuntos abiertos de R^n no pueden clasificarse sólo por su tipo de homotopía. Por ejemplo, tomemos las siguientes dos incrustaciones f,g: S^1 v S^1 v S^2 -> R^3. Supongamos que f incrusta ambos círculos S^1 de la cuña en componentes distintas de R^3-S^2, y que g los incrusta en la misma componente. Entonces las vecindades regulares abiertas de f y g son ambas homotópicamente equivalentes a S^1 v S^1 v S^2 pero no son homeomorfas entre sí porque sus límites son distintos (2 toros - para f, una esfera y una superficie de género 2 - para g).

(Tonterías escritas antes eliminadas - gracias al comentario de Sergey Melikhov).