Actualmente estoy intentando ampliar la fórmula de Vandermonde de $\sum_j\binom{m}{j}\binom{n}{k-j} = \binom{m+n}{k}$ para $m,n,k$ hasta el punto en que $m$ y $n$ no son números enteros y no estoy seguro de cómo abordar este problema.
Respuesta
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La identidad
$$\sum_{j+k=\ell} {n \choose j} {m \choose k} = {n+m \choose \ell}$$
es una identidad polinómica en $n, m$ en dos variables. Para $\ell$ Vandermonde te dice que es cierto para todos los valores no negativos de $n, m$ . A partir de aquí se puede demostrar que el LHS y el RHS deben ser polinomios idénticos (tienen los mismos coeficientes), por lo que la identidad se cumple para todos los valores de $n, m$ (complejo, por ejemplo).
