Matrices simétricas y definidas positivas equivalencias

Question

Supongamos que $A$ es una matriz simétrica definida positiva de $n \times n$. ¿Podemos concluir que $A$ es invertible y por lo tanto podemos reducir por filas a la identidad?

Answer 1

Una $n \times n$ matriz es invertible si y solo si su espacio nulo es trivial. Sea $A$ una matriz simétrica y supongamos que $A$ no es invertible. Entonces existe un $y \neq 0$ tal que $Ay=0$. Es decir, $0$ es un valor propio de $A$. Todos los valores propios de una matriz simétrica definida positiva son estrictamente positivos, por lo que $A$ no puede ser simétrica definida positiva.

Se sigue que si $A$ es simétrica definida positiva, entonces $A$ es invertible.

Un enfoque diferente es, si $A$ es simétrica, entonces $A$ es diagonalizable por una matriz ortogonal $U$. Por lo tanto, tenemos $A=U^* \Lambda U$ donde $\Lambda$ es diagonal y sus entradas son los valores propios de $A$ y $U^* U=I$. Dado que $A$ es definida positiva, las entradas diagonales de $\Lambda$ son todas positivas, por lo que es fácil verificar que $\Lambda$ es invertible. Definimos $B=U^* \Lambda^{-1} U$. Entonces $$A B=U^* \Lambda U U^* \Lambda^{-1} U=U^* \Lambda \Lambda^{-1} U=I$$ Es decir, $B$ es el inverso de $A$.