101102103104105106..............149150? ¿Cuál es el resto cuando se divide por 9?

Question

101102103104105106..............149150. ¿Cuál es el resto cuando se divide por 9?

Mi Enfoque

Creo que el resto se $0$.

Porque creo que todos los números están en la multiplicación y si divido $108/9=0$ restante, y por lo tanto la multiplicación de todos estos números se $0$.

¿Alguien puede guiarme? Es mi enfoque correcto?

Answer 1

$101102...149150=101(9999...9+1)+102(999...9+1)+...+149(999+1)+150$

$\equiv101+102+...+150\pmod{9}\equiv2+3+...+51\pmod{9}\equiv{(53)(50)\over2}=1325\equiv2\pmod{9}$

Answer 2

Suponiendo que te refieres a este número:

101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150

Como ustedes saben, el resto al dividir por 9 es igual para el resto ¿por qué la suma de los dígitos es dividido por 9. En este caso la suma de los dígitos es de 380. La suma de los dígitos es de 11 para el resto será de 2.

Answer 3

Desde $10^n=(9+1)^n\equiv 1\pmod9$ hemos $$ \begin{align} \underbrace{101102...150}_{150\text{-digit number}}&\equiv 101+102+...+150\\ &=50\cdot\frac{101+150}{2}\\ &=6275\\ &\equiv 6+2+7+5\\ &\equiv 2\pmod9 \end{align} $$

Answer 4

Hay un montón de respuestas diferentes aquí. Mirando barak manos' idea es una forma de hacerlo, pero hay un error aritmético.

Recuerde que el resto mod 9 es invariante bajo la suma de dígitos. Es decir, si escribimos una expansión decimal como $$ k = d_1d_2d_2\cdots d_{n-1}d_n $$ a continuación,$k \equiv \sum_{j=1}^n d_j \pmod 9$. Así que echemos un vistazo a la suma de dígitos en cuestión. Tenemos una concatenación de los números 101 a 150. El primer dígito 1 se produce 50 veces, así que esta va a añadir de 50 a nuestra total. El resto de los dígitos son el dígito de las cantidades de 1 a 50.

Como se indica en la otra respuesta, la columna uno va a producir cada uno de los números del 1 al 9 exactamente cinco veces; esto agregará $5(1 + \cdots + 9) = 225$ a nuestros suma de dígitos.

La columna de decenas agregará 0 nueve veces, 1 diez veces, 2 diez veces, 3 diez veces 4 diez veces, y 5 una vez. Esto se suma a $10(1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 105$.

Así que nuestra suma de dígitos será $$ 50 + 225 + 105 = 380 $$ La aplicación de suma de dígitos de nuevo obtenemos $3 + 8 = 11$. Así que al final hemos $$ k \equiv 380 \equiv 11 \equiv 2 \pmod 9 $$

Answer 5

Otro posible acceso directo, es notar que la suma de cualquiera de los 9 números consecutivos es divisible por 9. Intuitivamente, uno de los 9 números debe ser un múltiplo de 9, y el resto de forma simétrica pares alrededor de cuya mod 9 restos "cancelar". O bien, consulte Probar que la suma de cualquiera de las $n$ números consecutivos es divisible por $n$ (al $n$ es impar). para un sistema más formal de la prueba.

Desde el mod 9 resto del número dado es el mismo que el de la suma de los 50 números consecutivos 101 + 102 + ... +150, 5 grupos de 9 números consecutivos se puede caer de la suma como tener el mod 9 restos de 0. La elección a la caída de los 45 últimos números de las hojas 101 + 102 + 103 + 104 + 105 que tiene un mod 9 resto de 2.

[ EDITAR ] Para elaborar el "mod 9 resto del número dado es el mismo que el de la suma de los 50 números consecutivos 101 + 102 + ... +150".

$10 ≡ 1\;(mod\;9)$ $10^2 = 10 * 10 ≡ 1 * 1 = 1\;(mod\;9)$ y por inducción $10^n ≡ 1\;(mod\;9)$ todos los $n >= 0$. El número dado es $101 * 10^{148} + 102 * 10^{145} + ... + 149 * 10^3 + 150$, y dado que todos los factores de $10^k ≡ 1\;(mod\;9)$, la suma simplifica $(mod\;9)$$101 + 102 + ... + 150$.