¿La forma cuadrática $x^2 - 7y^2$ representan infinitos primos, con la restricción de que $0 < y < x/10$ ?

Question

Seguramente sí, y con mayor generalidad, pero ¿puede demostrarse?

Parece que la mayoría, si no todas, las afirmaciones sobre las formas cuadráticas que representan a los números primos recurren a la teoría algebraica de números (es decir, la división de los números primos en $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ ) para sus pruebas, por lo que son incompatibles con la condición de que $0 < y < x/10$ .

Algunas referencias relacionadas que no conducen a una prueba: En primer lugar existe este post anterior de MO, lo que sugiere una respuesta negativa.

También hay este documento de Iwaniec, que utiliza métodos de criba pero que también utiliza la estructura multiplicativa de las soluciones de la forma cuadrática.

También existe el interesante Teorema 5.36 de Iwaniec y Kowalski, que afirma que los argumentos de elementos primos de $\mathbb{Z}[i]$ están equidistribuidos en $(0, 2\pi)$ . Esto se demuestra utilizando la regla de Hecke $L$ -función $\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}[i]} \big( \frac{\alpha}{|\alpha|} \big)^{ik} |\alpha|^{-s}$ para todos $k$ divisible por 4. Esto se generaliza aún más, pero presumiblemente no a campos cuadráticos reales, donde el grupo unitario infinito ensuciaría la construcción.

Por último, utilizando una criba directa (con sólo la estructura aditiva de las soluciones a $x^2 - 7 y^2$ ) parece inútil, ya que los tamices tienden a ser malos para encontrar primos. Está el reciente trabajo de Friedlander-Iwaniec sobre $x^2 + y^4$ y Heath-Brown en $x^3 + 2y^3$ pero estos utilizan la teoría algebraica de números en $\mathbb{Q}(i)$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ y parece poco probable que se generalice aquí.

Me pregunto si existe algún enfoque prometedor que yo haya pasado por alto. Muchas gracias.

Answer 1

Las unidades de $k=\mathbf{Q}(\sqrt{7})$ tienen la forma $\pm (8+3 \sqrt{7})^n$ con $n \in \mathbf{Z}$ . Si $\pi = x+y\sqrt{7}$ es un elemento primo de $k$ entonces $\lambda(\pi):= \log |x+y\sqrt{7}|$ está bien definido en $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ donde $\alpha = \log(8+3\sqrt{7})$ . Tenga en cuenta que $\lambda$ factores como $\lambda = f \circ \sigma$ donde $\sigma : k^{\times} \to \mathbf{R}^{\times}$ es una incrustación dada de $k$ y $f : \mathbf{R}^{\times} \to \mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ es un homomorfismo de grupo continuo. Podemos aplicar la teoría de la equidistribución de Hecke (véase Lang, Teoría algebraica de números Cap. XV, especialmente el Ejemplo 3 al final del capítulo) para demostrar que la secuencia $\lambda(\pi)$ está equidistribuido en $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ donde $\pi$ pasa por los primos de $k$ (con respecto a la ordenación habitual de la norma de $\pi$ ).

Quieres $0 < y < x/10$ que se traduce en la desigualdad

\begin{equation*} \sqrt{p} \leq x+y\sqrt{7} \leq C \sqrt{p} \end{equation*} donde $C=\frac{10+\sqrt{7}}{\sqrt{93}}>1$ y $p=N_{k/\mathbf{Q}}(x+y\sqrt{7})$ . Esto, a su vez, equivale a $\lambda(\pi) \in [\frac12 \log p , \frac12 \log p + \log C]$ en $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ .

Utilizando el resultado de equidistribución anterior, el conjunto $X=\{\pi : \lambda(\pi) \in [0,\frac12 \log C]\}$ tiene una densidad natural positiva (aquí sólo consideramos primos de $k$ que no pertenecen a $\mathbf{Q}$ pero esto está bien porque la norma de un primo racional $p$ es igual a $p^2$ por lo que estos primos racionales son despreciables). Además, el conjunto $Y=\{\frac12 \log p : \pi \in X\}$ es denso en $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ debido al teorema de los números primos. Así que podemos encontrar infinitos números primos $\pi \in X$ con $\frac12 \log p \in [-\frac12 \log C,0]$ en $\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$ lo que implica lo que usted quiere utilizando la discusión anterior.

Answer 2

Es cierto, con la misma demostración que Iwaniec-Kowalski. Reales o complejos, los generadores de los primos principales están equidistribuidos módulo a módulo. Sucede que no hay unidades en el caso complejo.