Demostrar que $\{x^n\}$ es convergente a $x\notin S\subseteq \ell_\infty$

Question

Como continuación de mi mensaje anterior Demostrar que $\{x^n\}$ es Cauchy en $S\subseteq \ell_\infty$ . Me gustaría plantear la siguiente pregunta. Sea $S$ sea el conjunto de secuencias que sólo tienen un número finito de términos distintos de cero. Claramente, $S\subseteq \ell_\infty$ . Toma $\{x^n\}$ en $S$ donde $x^n=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},0,0,\cdots).$ Quiero demostrar que $\{x^n\}$ es convergente a $x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots)\notin S\subseteq \ell_\infty.$

MI JUICIO

Sea $\epsilon>0$ y $n\in \Bbb{N}.$ Entonces, \begin{align}\Vert x^n-x\Vert_ {\infty}=\sup\limits_{n\in \Bbb{N}}\left|\frac{1}{n}-0 \right|\end{align} Por convergencia de $\{1/n\}_{n\in\Bbb{N}}$ a $0$ existe $N\in\Bbb{N}$ tal que \begin{align}\Vert x^n-x\Vert_ {\infty}=\sup\limits_{n\in \Bbb{N}}\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon,\;\;\forall\; n\geq N. \end{align}

Creo que me equivoco pero, por favor, ¿pueden ayudarme? Soy nuevo en el análisis funcional. Gracias

Answer 1

Su idea está muy bien, pero no lo estás expresando correctamente. Debería decir que, puesto que $\left(\frac1n\right)_{n\in\mathbb N}$ converge a $0$ entonces, para cada $\varepsilon>0$ existe una $N$ tal que $n\geqslant N\implies\frac1n<\varepsilon$ (en realidad, esto es lo que significa afirmar que $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ ) y así $$n\geqslant N\implies\lVert x-x^n\rVert_\infty=\sup\left\{0,\frac1{n+1},\frac1{n+2},\ldots\right\}=\frac1{n+1}<\varepsilon.$$ Sin embargo, $x\notin S$ . Por lo tanto, esto demuestra que en $S$ tu secuencia diverge.