¿Ruptura espontánea de simetría con 1 escalar masivo pero tres generadores no rotos?

Question

Consideremos una teoría de cuatro campos escalares reales, $\phi_1$ , $\phi_2$ , $\phi_3$ y $\phi_4$ que es invariante bajo una $$SO(4)\cong SU(2)_L\times SU(2)_R$$ simetría. Podemos reescribir los escalares reales en términos del $2 \times 2$ matriz $$\Sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mathbb{1}\cdot\phi_4+i\sigma^i\phi_i\right)$$ que se transforma como $$\Sigma\rightarrow U_L\Sigma U_R^\dagger\quad.$$

Digamos que la teoría exbibe una ruptura de simetría espontánea donde el potencial es $$V[\phi] = -\frac{1}{2}\mu^2|\phi|^2(\lambda|\phi|^2-4\mu^2).$$ Recogemos algo de vacío: $$<\phi>=\begin{pmatrix} v \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Ahora al expandir esto en el potencial se encuentra que el potencial tiene un escalar masivo y 3 bosones de Goldstone. Pero cuando miro al grupo $SO(4)$ tiene 6 generadores. Y al requerir la condición de un vacío ininterrumpido, obtenemos un conjunto de 3 generadores ininterrumpidos. Lo que nos deja con 3 rotos.

Estoy confundido: en un camino encontré 1 escalar masivo y 3 piedras de oro. En el otro camino encontré 3 escalares masivos y 3 piedras de oro. Sé que el primero debería ser el correcto ya que empezamos con 4 grados de libertad, pero ¿cómo es que el segundo método da un resultado diferente.

Answer 1

Esto es algo así como el falacia inversa . :)

El teorema de Goldstone te dice que para cada generador de simetría rota, debes encontrar un modo sin masa en el espectro de la teoría.

Así es no decirte por cada un generador de simetría rota, debes encontrar uno masivo modo en el espectro de la teoría.

Si ese fuera el caso, entonces si hubieras elegido un potencial que preservara la simetría y por lo tanto tuvieras los 6 generadores intactos, tendrías que tener 6 modos masivos, que obviamente no tienes por construcción.

Así que el número de modos masivos será la diferencia entre el número original de grados de libertad y el número de generadores de simetría rota. Puedes convencerte de que no será posible que tu potencial rompa más generadores de los que hay grados de libertad. (Como ejemplo fácil de visualizar, aunque tu vacío ahora está singularizando alguna dirección en el espacio de simetría, todavía hay rotaciones azimutales alrededor de esa dirección que deben ser preservadas).

Answer 2

1. Por si sirve de algo, es útil reescribir el campo escalar de OP $$\phi~\in~\mathbb{H}~\cong~\mathbb{R}^4\tag{1}$$ como tomando valores en el cuaterniones , $$ {\cal L}~=~|\partial\phi|^2+m^2|\phi|^2-\lambda(|\phi|^2)^2. \tag{2}$$

2. El grupo de simetría global de 6 dimensiones es $$G~=~U(1,\mathbb{H})_L\times U(1,\mathbb{H})_R.\tag{3}$$ Aquí $$\begin{align}U(1,\mathbb{H})~:=~&\{q\in\mathbb{H}\mid |q|=1 \}\cr ~\cong~& SU(2)\end{align} \tag{4} $$ es el grupo de los unitarios $1\times 1$ matrices con entradas cuaterniónicas, véase, por ejemplo, mi respuesta de Phys.SE ici .

3. El grupo $G$ actos sobre el terreno $\phi$ como $$\phi~\to~ q_L\phi \bar{q}_R, \qquad (q_L, q_R)~\in~G. \tag{5}$$

4. Se puede comprobar que el VEV $$\langle\phi\rangle~=~v~=~\frac{m}{\sqrt{2\lambda}}~\in~\mathbb{R}\backslash\{0\}\tag{6}$$ rompe espontáneamente el grupo $G$ hasta una diagonal tridimensional subgrupo de isotropía $$\begin{align}H~=~&\{(q_L, q_R) \in G \mid q_Lv\bar{q}_R=v\}\cr ~=~&\{(q_L, q_R) \in G \mid q_L= q_R\}\cr ~\cong~&U(1,\mathbb{H}),\end{align}\tag{7}$$ es decir, tenemos $6-3=3$ generadores rotos.

5. Además, se puede demostrar que las fluctuaciones $$\eta~=~\phi-v\tag{8}$$ tienen 3 modos imaginarios de Goldstone sin masa y 1 modo real masivo, $$\begin{align} {\cal L}~=~&|\partial\eta|^2+\frac{1}{2}m^2v^2\cr &-2m^2({\rm Re}\eta)^2+{\cal O}(\eta^3),\end{align} \tag{9}$$ de acuerdo con Teorema de Goldstone .