Para $z \in \mathbb C$ define $f(z) = \frac {e^z}{e^z - 1}$ entonces

Question

1. $f$ está entero .

2. las únicas singularidades de $f$ son polos.

3. $f$ tiene infinitos polos en el eje imaginario

4. cada polo de $f$ es simple.

Para (1), Puesto que $0$ es un polo de $f$ Así que $f$ no está completo.

Para (2),(3) otras singularidades de $f$ son $2n\pi i$ donde n $\in \mathbb Z$

Para (4), Puesto que los ceros de $e^z - 1$ es $2n\pi i $ y deivada de $e^z - 1$ es $e^z$ no es igual a cero en $2n\pi i$ . Por tanto, (4) es cierto.

Answer 1

$f$ tiene singularidad en los puntos, donde $e^z=1$ . Y que, según su cálculo, son infinitamente muchos, se encuentra en el eje imaginario. Y cada uno de ellos son polos. Entonces, 2),3) y 4) son correctos.