Utilizando el índice de notación para escribir $d^2=0$ en términos de una torsión de conexión libre.

Question

Deje $(M,g)$ ser una de Riemann colector y deje $\omega$ $1$- forma en $M$. Quiero volver a escribir $d^2\omega=0$ en términos de Levi-Civita de conexión.

Me puede mostrar lo siguiente:

$$d\omega(X,Y) = (\nabla_X\omega)(Y) - (\nabla_Y\omega)(X), $$ que en el índice de notación se lee $$(d\omega)_{ab} =2 \nabla_{[a}\omega_{b]}.$$

Similiarly para un $2$, $\mu$, tenemos: $$d\mu(X,Y,Z) = (\nabla_X\mu)(Y,Z) - (\nabla_Y\mu)(X,Z) + (\nabla_Z\mu)(X,Y) ,$$

que en el índice de notación se lee $$(d\mu)_{abc} = 3\nabla_{[a}\phi_{bc]}.$$

Ahora conectar $d\omega$ $\mu$ tenemos $$0 = d^2\omega = (d(d\omega))_{abc} = \nabla_{[a}(d\omega)_{bc]}.$$

Quiero enchufe en la expresión anterior (en el índice de notación) por $d\omega$ pero no estoy realmente seguro de cómo manejar los índices. Acabo de llegar de hacer $$3\nabla_{[a} 2\nabla_{[b}\omega_{c]]} = 6\nabla_{[a}\nabla_b\omega_{c]}?$$

Answer 1

Este es correcta. Véase M. Spivak, Cálculo de colectores, 1965, Teorema 4-4 (2), pág.80.

Por supuesto, esto también puede ser verificada directamente por la escritura de la expansión: $$ \begin{align} 3\nabla_{[a} 2\nabla_{[b}\omega_{c]]} & = \nabla_{a} 2\nabla_{[b}\omega_{c]} + \nabla_{b} 2\nabla_{[c}\omega_{a]} +\nabla_{c} 2\nabla_{[a}\omega_{b]} \\ & = \nabla_{a} \nabla_{b}\omega_{c} - \nabla_{a} \nabla_{c}\omega_{b} + \nabla_{b} \nabla_{c}\omega_{a} - \nabla_{b} \nabla_{a}\omega_{c} + \nabla_{c} \nabla_{a}\omega_{b} - \nabla_{c} \nabla_{b}\omega_{a} \\ & = 6 \nabla_{[a} \nabla_b \omega_{c]} \end{align} $$ donde hemos utilizado que para un tensor $t_{a b c}$, con una simetría $$ t_{a b c} = t_{a [b, c]} = \tfrac{1}{2} \left( t_{a b c} - t_{a b} \right) $$ la alternancia se expresa por $$ t_{[a b c]} = \tfrac{1}{3} \left( t_{a b c} + t_{b, c} + t_{c, b} \right) $$ que es una vez más fácil de probar: $$ \begin{align} t_{[a b c]} & = \tfrac{1}{6} \left( t_{a b c} - t_{a c b} + t_{b c a} - t_{b a c} + t_{c a b} - t_{c b a} \right) \\ & = \tfrac{1}{6} \left( 2 t_{a b c} + 2 t_{b c a} + 2 t_{c a b} \right) \end{align} $$

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Para probar el lema de Poincaré $d^2 \omega = 0 $ localmente se puede utilizar la distancia Euclídea conexión de un determinado sistema de coordenadas, y desde el exterior derivada es independiente de la elección de torsión de conexión, el lema se deduce del hecho de que las derivadas parciales de viaje. Los detalles ver en R. Wald, teoría General de la relatividad, 1984, pág. 429.