$3^a\cdot X+3^{a-1}=2^{b}-2^{c}$ prueba para enteros Impares

Question

¿Podemos demostrar que para todos los enteros Impares X>0, existe al menos un triple de enteros (a,b,c) tal que la siguiente ecuación es cierta:

$3^a\cdot X+3^{a-1}=2^{b}-2^{c}$

Me parece que puedo encontrar algunas condiciones para las que la ecuación anterior es cierta, pero cualquier pista es bienvenida.

Editar - cerrar este hilo como me di cuenta de que cometí un error estúpido. Aquí está la ecuación para la que quería una prueba

$3^a\cdot X+3^{a-1}=2^{b}-2c$

Answer 1

El resultado parece no ser cierto:

Sea $X=7$ y supongamos $22\times 3^{a-1}=2^b-2^c$ para algunos $a,b,c$ .

Entonces $c=1$ y $11\times 3^{a-1}=2^{b-1}-1.$

Considerando esta ecuación módulo $11$ vemos que $b-1$ debe ser múltiplo de $10$ pero entonces $2^{b-1}$ también es múltiplo de $31$ .