Discutir la convergencia o la divergencia de la serie.

Question

$x_n=($ ln $n)^{-p}$ es el enésimo término de la serie en la que estoy trabajando.

He probado a mirar las series para diferentes rangos de $p$ . También he observado que la prueba de la proporción no es concluyente.

Mi trabajo:

Si $p\leq0$ el enésimo término no llega a 0 ya que n $\rightarrow\infty$ . Por tanto, la serie diverge.

Si $0<p<1$ la serie diverge por la prueba de comparación de límites con $y_n=\sum\frac{1}{n(lnn)^p}$ .

Sin embargo, no sé cómo abordar el caso de cuando $p\geq1$ . ¿Podría darme una idea?

Answer 1

Sea $p\gt 1$ . Si podemos demostrar que para $n$ tenemos $(\ln n)^p \lt n$ Comparación con $\sum \frac{1}{n}$ demostrará que nuestra serie diverge.

Sea $w=\ln n$ . Queremos demostrar que para grandes $w$ tenemos $w^p \lt e^w$ o, lo que es lo mismo, que $w\lt e^{w/p}$ . Obsérvese que, de hecho, por la regla de L'Hospital tenemos $$\lim_{w\to\infty} \frac{w}{e^{w/p}}=0.$$ De ello se deduce que si $w$ es lo suficientemente grande, entonces $w^p\lt e^w$ .

Si no queremos utilizar la regla de L'Hospital, podemos utilizar la serie para $e^x$ para demostrar que para todo $w$ tenemos $e^{w/p}\gt 1+\frac{w}{p}+\frac{w^2}{2p^2}\gt \frac{w^2}{2p^2}$ . Por lo tanto, si $w$ es positivo, entonces $$\frac{w}{e^{w/p}} \lt \frac{2p^2}{w}.$$ Esto se puede utilizar para encontrar un $N$ tal que si $n\ge N$ tenemos $(\ln n)^p \lt n$ .