Si $\omega(A)=\|A\|$ ¿Por qué? $r(A)=\|A\|$ ?

Question

Sea $\mathcal{B}(F)$ el álgebra de todos los operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo $F$ .

Sea $A\in\mathcal{B}(F)$ . Las siguientes cantidades $$\|A\|=\displaystyle\sup_{\substack{x\in F,\\ \|x\|= 1}}\|Ax\|,$$ $$r(A)=\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n},$$ y $$\omega(A)=\sup\left\{|\langle Ax\mid x\rangle|\,;\;x\in F,\;\|x\|= 1\right\},$$ denotan respectivamente la norma, el radio espectral y el radio numérico de $A$ .

Quiero demostrar que $$r(A)=\|A\|\Longleftrightarrow \omega(A)=\|A\|.$$

Es bien sabido que
$$r(A)\leq\omega(A)\leq\|A\|,$$ para cada $A\in\mathcal{B}(F)$ . Así que claramente si $r(A)=\|A\|$ entonces $\omega(A)=\|A\|$ .

Answer 1

En la dimensión infinita esto no es cierto. Si se considera la $n\times n$ "shift", es decir $S_n=\sum_{j=1}^nE_{j,j+1}^{(n)}$ entonces $\omega(S_n)=\cos \pi/(n+1)$ y $\|S_n\|=1$ y $r(S_n)=0$ . Si formamos $$ A=\bigoplus_{n\in\mathbb N} S_n, $$ entonces $$ \|A\|=\sup\{\|S_n\|:\ n\}=1, $$ $$ \sigma(A)=\overline{\bigcup_n\sigma(S_n)\}}=\{0\} $$ así que $r(A)=0$ y $$ \omega(A)=1 $$ ya que el rango numérico es el casco convexo cerrado de la unión de los rangos numéricos, que en este caso equivale a una unión creciente de bolas concéntricas.