Hallar la integral de $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|4x|}$ .

Question

Así que estoy tratando de encontrar la integral de $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|4x|}$ . Sé que la integral converge, y también sé la respuesta, pero estoy confundido sobre cómo obtener la respuesta correcta. Mi problema sospecho que viene de integrar correctamente con el valor absoluto en el exponente. Así que voy a publicar mis pasos y que alguien señale mi error, gracias. $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|4x|}\rightarrow \lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0} e^{-|4x|} + \lim_{b\rightarrow \infty}\int_{0}^{b} e^{-|4x|} $$

Aquí integro por sustitución, que es donde creo que me estoy equivocando, pero no sé si estoy sustituyendo adecuadamente respecto al valor absoluto. $$u=-|4x|\hspace{5pt}du=-4dx?$$ $$\lim_{a\rightarrow -\infty} -\frac{1}{4}e^{-|4x|}|_{a}^{0}\hspace{10pt}+\hspace{10pt}\lim_{b\rightarrow -\infty} -\frac{1}{4}e^{-|4x|}|_{0}^{b}$$

$$\lim_{a\rightarrow -\infty}\left( -\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{-|4\infty|} \right)+ \lim_{b\rightarrow \infty} \left( -\frac{1}{4}e^{-|4(-\infty|)} +\frac{1}{4} \right) $$

$$-\frac{1}{4}+0-0+\frac{1}{4}$$ Así que tengo $0$ pero la respuesta es $\frac{1}{2}$ por lo que estoy pensando que el valor absoluto se supone que va en toda la integral. Ex- $\int e^{-|4x|}=\left| -\frac{1}{4}e^{-|4x|} \right|$ o simplemente $\left| \frac{1}{4}e^{-|4x|} \right|$ . ¡¿Es correcta mi suposición, o cuál es la forma correcta de hacer esta integral, gracias de antemano!

Answer 1

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|4x|}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{-|4x|}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-|4x|}dx$$ $$=\int_{-\infty}^{0}e^{4x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-4x}dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-4x}dx=1/2$$

Answer 2

Dado que la función $e^{-4|x|}$ es incluso tenemos $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4|x|}\, dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-4x}\, dx$$ Por otra parte $$2\int_{0}^{\infty}e^{-4x}\, dx=2\lim\limits_ {a\to \infty }\int_{0}^{a}e^{-4x}\, dx=\frac{1}{2}$$

Answer 3

Su derivada es errónea. Si bien sería un ejercicio que vale la pena trabajar cuidadosamente cómo se estaba calculando la derivada y averiguar dónde se equivocó, un enfoque más fácil para obtener la respuesta es darse cuenta de que puede simplificar todas las apariencias del valor absoluto.