Criterios para que Aut(G) sea simple

Question

Es bien sabido que los automorfismos de un grupo $G$ forman un grupo bajo composición, y que el grupo de automorfismos internos $\phi (x)=gxg^{-1}$ forma un subgrupo normal de $\mbox{Aut}(G)$ . Así, $\mbox{Aut}(G)$ es simple si y sólo si $\mbox{Inn}(G)=\mbox{Aut}(G)$ o $\mbox{Inn}(G)$ es trivial. En el segundo caso, puesto que $G/Z(G)=\mbox{Inn}(G)$ , $G$ debe ser abeliano. Mi pregunta es, ¿cuándo $\mbox{Inn}(G)=\mbox{Aut}(G)$ ? O, ya que es poco probable que el caso general no se entienda del todo, ¿existen clases agradables de grupos para los que haya un conjunto agradable de criterios de $\mbox{Inn}(G)=\mbox{Aut}(G)$ .

Answer 1

He aquí una aproximación a una respuesta a "¿Para qué grupos finitos es Aut(G) simple?".

Como mencionó Daniel Miller, Inn(G) es un subgrupo normal de Aut(G), por lo que para que Aut(G) sea simple o bien Inn(G) = 1, en cuyo caso G es abeliano, o bien Inn(G) = Aut(G) es simple. El primer caso debería ser algo fácil de manejar suponiendo que G es finito. En el segundo caso, tenemos que G/Z(G) es simple. Si además G es perfecto, entonces G se llama cuasi-simple . Por supuesto, no es necesario que G sea perfecto, ya que G ≅ A ₅ × 2 muestra. Sin embargo, creo que éste es el único obstáculo, así que ignorando un posible factor directo cíclico de orden 2, G/Z(G) es simple, y G es cuasi-simple. Los grupos finitos cuasi-simples y sus grupos de automorfismo están clasificados, pero la clasificación es un poco larga. Para un grupo simple fijo, X = G/Z(G), sólo hay finitamente muchas clases de isomorfismo de grupos cuasi-simples D tales que D/Z(D) = X. De hecho hay una única más grande llamada la cubierta de Schur, que llamaré D. Si Z(D) es cíclico, entonces de hecho Aut(G) = Aut(X) = Aut(D) no presta ninguna atención al centro. Así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar todos los X con Aut(X) = X [y cada uno funciona], y todos los X con Z(D) no cíclico [y comprobar cuáles funcionan].

Después de haberlo hecho casi todo, pero no todo, pensé que podría ser útil dejar constancia del resultado básico:

Si G = H×T donde T=1 si H es abeliano y T es cíclico de orden divisor de 2 en caso contrario, y donde H está en la siguiente lista, entonces Aut(G) es simple:

• cíclico de orden 3, 4 ó 6
• abeliano elemental de orden 2 n para n ≥ 3
• M11, 2.Sz(8), J1, 2.Sp(6,2), M23, M24, Ru, 2.Ru, Co3, Co2, Ly, Th, Fi23, Co1, 2.Co1, J4, B, 2.B, E7(2), M
• Ω(2n+1,2) para n ≥ 3
• Sp(2n,2) para n ≥ 3
• E8(p) para cualquier primo p
• F4(p) para cualquier primo p
• G2(p) para cualquier primo p ≥ 5

Además si Aut(G) es simple, entonces G = H×T como arriba, excepto que posiblemente H/Z(H) esté en la lista siguiente:

• L3(4), U4(3), U6(2), 2E6(2)
• Ω + (4n,q) para ciertos q

Se trata de grupos con multiplicador no cíclico distinto de Sz(8) [definitivamente un ejemplo] y Ω + (8,2) [no es un ejemplo]. La Ω + (4n,q) debería ser fácil, ya que hay demasiados automorfismos que matar. Los demás serían fáciles en un mundo ideal, pero por lo que sé nuestro conocimiento computacional de estos grupos es limitado y/o defectuoso. Por supuesto, también tengo que comprobar cuidadosamente el caso abeliano, pero creo que 3,4,6 y 2^n son los únicos ejemplos abelianos.

Sería otra buena respuesta: ¿Para qué grupos abelianos de torsión G es Aut(G) simple? Esto se ocuparía de los grupos abelianos aquí, así como algunos de los intereses del cartel original, sin ahondar en los aspectos más desagradables de los grupos abelianos.

Answer 2

Obraztsov ha demostrado que si $p$ es un primo suficientemente grande, entonces existe un grupo completo simple infinito finitamente generado $G$ todos cuyos subgrupos propios son cíclicos de orden $p$ . En particular, $G$ es un ejemplo de grupo tal que $Aut(G)$ es un grupo simple infinito. La referencia relevante es:

V. N. OBRAZTSOV, `Sobre infinitos grupos completos', Comm. Algebra 22 (1994) 5875--5887

Answer 3

Esto no es una respuesta a su pregunta exacta (que yo interpreté como "¿Cuándo $\mathrm{Inn}(G)=\mathrm{Aut}(G)$ Como se ha señalado en los comentarios, esto no es lo mismo que pedir $\mathrm{Aut}G$ para ser simple), y sólo es realmente interesante si te interesan los ejemplos en los que $G$ es infinito.

Si se preocupa por $G$ infinito, entonces un ligero debilitamiento natural es pedir criterios para $\mathrm{Out}(G)$ sea finito. Uno de estos criterios es el proporcionado por Teorema de Paulin .

Teorema. Si $G$ es hiperbólico y $\mathrm{Out}(G)$ es infinito entonces $G$ se divide (como producto libre amalgamado o extensión HNN) sobre un subgrupo virtualmente cíclico.

Es conocido que, utilizando alguna definición adecuada de "elegido al azar", un grupo finitamente presentado elegido al azar no tiene torsión, es hiperbólico en palabras y no se divide. Por tanto, se puede concluir que un grupo finitamente presentado "elegido al azar $G$ es de índice finito en su grupo de automorfismo.

Answer 4

Deje $G$ sea un grupo no ableiano y $A$ ser el conjunto de todos los grupos, incluidos $Z(G)$ . para Todo H en A,enviar H a Z(H)(Notar que esto es un mapa de A a A). notar si Z(H)=Z(G) todo H en A, causa una contradicción(fácil de demostrar) si Inn(G)=Aut(G) entonces hay un grupo propio uniqe con Z(H)=Z(G) en A.

M.Y.K