Normas de subespacios ortogonales

Question

Sea V un espacio de producto interno real de dimensión finita y U, W subespacios de V tales que U es ortogonal a W. Demuestre que para cualquier $v V$ $$||v||^2 ||proj U (v)||^2 + ||projW (v)||^2$$

Hola chicos. Estoy tratando de probar esto. Estoy haciendo 3 casos. En primer lugar es v está en el ámbito de la base ortogonal de U. En segundo lugar es que v está en el ámbito de la base ortogonal de W. Estos dos casos está claro. Pero en el caso final, cuando v no es elemento de span de estas dos bases ortogonales, no pude encontrar una manera de demostrarlo.

Answer 1

Puede combinar sus dos casos en uno produciendo el complemento ortogonal de $U \oplus W$ en $V$ .

En efecto, si $V$ es la suma directa ortogonal $U_1 \oplus \cdots \oplus U_n$ es generalmente cierto para $ v = u_1 + \cdots + u_n$ que

$$\|v\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots \|u_n\|^2.$$

Aplique este principio a su caso, con $V = U \oplus W \oplus [U \oplus W]^{\perp}$ .