¿Cómo se demuestra que dos dominios cualesquiera simplemente conectados en el plano son homeomorfos sin utilizar el teorema del mapa de Riemann? Estaría bien una demostración elemental.
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Bill Thurston
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19407
He aquí cómo va una prueba. Estoy omitiendo algunos detalles, al menos por ahora.
Si $U$ es un dominio simplemente conectado en el plano $\mathbb C$ defina la función $r: U \to \mathbb R_+$ es el radio máximo de un disco abierto (redondo) en la métrica euclidiana estándar cuyo interior está contenido en $U$ . Si $r(z) = \infty$ para cualquier $z$ , entonces $U$ es todo el plano, así que no hay nada que demostrar. En caso contrario, defina una nueva métrica riemanniana utilizando el factor conforme $1/r$ Eso es, $ds' = 1/r\ ds$ donde $ds$ es la longitud de arco en la métrica estándar.
Tenga en cuenta que si $U$ es el semiplano superior, la métrica coincide con la métrica hiperbólica. Si $U = \mathbb C \setminus \{0\}$ , entonces todos los automorfismos lineales complejos de $\mathbb C$ preservan la métrica, y la métrica es la de un cilindro parametrizado isométricamente por $\log(z) / \left \langle 2 \pi i \right \rangle$ . Si $U$ es un disco redondo, entonces $ds'$ es una métrica suave de curvatura negativa excepto en el centro del disco, donde hay un punto no suave, pero no hay ángulo de cono: si el disco tiene radio 1, entonces un círculo alrededor del centro de radio $\epsilon$ tiene longitud $2 \pi \epsilon / (1-\epsilon)$
En general, aunque la métrica $ds'$ no tiene por qué ser lisa, siempre tiene curvatura no positiva. Intuitivamente: la $1/r$ significa que se necesita una longitud de arco infinita para llegar al límite, y el más corto $ds'$ geodésicas tratan de enhebrar su camino en cualquier bahías y ensenadas de $U$ mantenerse lejos de la costa, ya que el límite de velocidad se reduce drásticamente cerca de la costa. En particular, hay una $ds'$ geodésica entre dos puntos cualesquiera de $U$ y las geodésicas tienen la propiedad de continuación única, están determinadas por el vector tangente al principio y la longitud.
Para parametrizar $U$ por $\mathbb R^2$ elige un punto cualquiera $z_0$ en $U$ . El espacio tangente a $U$ en $z_0$ parametriza $U$ por $V$ va a la geodésica a través de $V$ cuya longitud es la longitud de $V$ .
Perdón por omitir detalles. En algún otro lugar en MO creo que he publicado una forma alternativa de hacer esto, utilizando el casco convexo de $S^2 \setminus U'$ donde $U'$ es la imagen estereográfica de $U$ en una esfera; en la métrica hiperbólica proyectiva, esta frontera del casco convexo siempre es isométrica respecto al plano hiperbólico, de lo que resulta fácil una demostración.
anjanb
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5579
Ya que pides un argumento elemental, supongamos que los dominios tienen límites poligonales. Entonces, la solución al "problema de la regla del carpintero" (por Connelly-Demaine-Rote y Streinu) da un algoritmo real para transfromar los dominios en dominios convexos, para los cuales cualquier número de argumentos funciona. (el problema de la regla del carpintero se describe aquí:
Void
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Voy a intentar resolverlo de forma totalmente elemental. Mi objetivo es representar el dominio simplemente conectado $\Omega$ como unión $\cup_{i=1}^{\infty} P_i$ donde $P_1,P_2,\dots$ son polígonos (cerrados) y $P_i\subset {\rm Int}(P_{i+1})$ ( $\rm Int$ es para interior). Si se obtiene tal representación, entonces podemos construir homeomorfismos $f_k:P_k\rightarrow \{z:|z|\leq 1-2^{-k}\}$ con $f_k(\partial P_k)=\{z:|z|=1-2^{-k}\}$ y $f_{k+1}$ extiende $f_k$ . F $x\in \Omega$ defina $f(x)=f_k(x)$ para todos $k$ tal que $x\in P_k$ obtenemos un homeomorfismo de $\Omega$ al disco de la unidad abierta $\{z<1\}$ .
¿Cómo construir nuestro sistema de polígonos? Enumerar todos los cuadrados diádicos $[a\cdot 2^n,(a+1)\cdot 2^n]\times [b\cdot 2^n,(b+1)\cdot 2^n]$ , $a,b,n$ son enteros y contienen en $\Omega$ : $S_1,S_2,\dots$ . Defina $P_1=S_1$ . A continuación, si los polígonos $P_1,\dots,P_{n-1}$ se construyen, considere el cuadrado $S_n$ y denota $F=P_{n-1}\cup S_n$ . Si es necesario, añada a $F$ número finito de cuadrados diádicos para que quede conectado. Puede contener agujeros, pero como $\Omega$ es simplemente conectado todo en agujeros pertenece a $\Omega$ Añade todo esto a $F$ . Por último, añade varias celdas diádicas pequeñas para $F$ para que $P_{n-1}\subset {\rm Int}(F)$ y poner $P_n:=F$ . Nuestra construcción garantiza que $\cup P_i=\cup S_i=\Omega$ como desee.
