Teorema del mapa de Riemann para homeomorfismos

Question

¿Cómo se demuestra que dos dominios cualesquiera simplemente conectados en el plano son homeomorfos sin utilizar el teorema del mapa de Riemann? Estaría bien una demostración elemental.

Answer 1

He aquí cómo va una prueba. Estoy omitiendo algunos detalles, al menos por ahora.

Si $U$ es un dominio simplemente conectado en el plano $\mathbb C$ defina la función $r: U \to \mathbb R_+$ es el radio máximo de un disco abierto (redondo) en la métrica euclidiana estándar cuyo interior está contenido en $U$ . Si $r(z) = \infty$ para cualquier $z$ , entonces $U$ es todo el plano, así que no hay nada que demostrar. En caso contrario, defina una nueva métrica riemanniana utilizando el factor conforme $1/r$ Eso es, $ds' = 1/r\ ds$ donde $ds$ es la longitud de arco en la métrica estándar.

Tenga en cuenta que si $U$ es el semiplano superior, la métrica coincide con la métrica hiperbólica. Si $U = \mathbb C \setminus \{0\}$ , entonces todos los automorfismos lineales complejos de $\mathbb C$ preservan la métrica, y la métrica es la de un cilindro parametrizado isométricamente por $\log(z) / \left \langle 2 \pi i \right \rangle$ . Si $U$ es un disco redondo, entonces $ds'$ es una métrica suave de curvatura negativa excepto en el centro del disco, donde hay un punto no suave, pero no hay ángulo de cono: si el disco tiene radio 1, entonces un círculo alrededor del centro de radio $\epsilon$ tiene longitud $2 \pi \epsilon / (1-\epsilon)$

En general, aunque la métrica $ds'$ no tiene por qué ser lisa, siempre tiene curvatura no positiva. Intuitivamente: la $1/r$ significa que se necesita una longitud de arco infinita para llegar al límite, y el más corto $ds'$ geodésicas tratan de enhebrar su camino en cualquier bahías y ensenadas de $U$ mantenerse lejos de la costa, ya que el límite de velocidad se reduce drásticamente cerca de la costa. En particular, hay una $ds'$ geodésica entre dos puntos cualesquiera de $U$ y las geodésicas tienen la propiedad de continuación única, están determinadas por el vector tangente al principio y la longitud.

Para parametrizar $U$ por $\mathbb R^2$ elige un punto cualquiera $z_0$ en $U$ . El espacio tangente a $U$ en $z_0$ parametriza $U$ por $V$ va a la geodésica a través de $V$ cuya longitud es la longitud de $V$ .

Perdón por omitir detalles. En algún otro lugar en MO creo que he publicado una forma alternativa de hacer esto, utilizando el casco convexo de $S^2 \setminus U'$ donde $U'$ es la imagen estereográfica de $U$ en una esfera; en la métrica hiperbólica proyectiva, esta frontera del casco convexo siempre es isométrica respecto al plano hiperbólico, de lo que resulta fácil una demostración.

Answer 2

Ya que pides un argumento elemental, supongamos que los dominios tienen límites poligonales. Entonces, la solución al "problema de la regla del carpintero" (por Connelly-Demaine-Rote y Streinu) da un algoritmo real para transfromar los dominios en dominios convexos, para los cuales cualquier número de argumentos funciona. (el problema de la regla del carpintero se describe aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Carpenter%27s_rule_problem )

Answer 3

Voy a intentar resolverlo de forma totalmente elemental. Mi objetivo es representar el dominio simplemente conectado $\Omega$ como unión $\cup_{i=1}^{\infty} P_i$ donde $P_1,P_2,\dots$ son polígonos (cerrados) y $P_i\subset {\rm Int}(P_{i+1})$ ( $\rm Int$ es para interior). Si se obtiene tal representación, entonces podemos construir homeomorfismos $f_k:P_k\rightarrow \{z:|z|\leq 1-2^{-k}\}$ con $f_k(\partial P_k)=\{z:|z|=1-2^{-k}\}$ y $f_{k+1}$ extiende $f_k$ . F $x\in \Omega$ defina $f(x)=f_k(x)$ para todos $k$ tal que $x\in P_k$ obtenemos un homeomorfismo de $\Omega$ al disco de la unidad abierta $\{z<1\}$ .

¿Cómo construir nuestro sistema de polígonos? Enumerar todos los cuadrados diádicos $[a\cdot 2^n,(a+1)\cdot 2^n]\times [b\cdot 2^n,(b+1)\cdot 2^n]$ , $a,b,n$ son enteros y contienen en $\Omega$ : $S_1,S_2,\dots$ . Defina $P_1=S_1$ . A continuación, si los polígonos $P_1,\dots,P_{n-1}$ se construyen, considere el cuadrado $S_n$ y denota $F=P_{n-1}\cup S_n$ . Si es necesario, añada a $F$ número finito de cuadrados diádicos para que quede conectado. Puede contener agujeros, pero como $\Omega$ es simplemente conectado todo en agujeros pertenece a $\Omega$ Añade todo esto a $F$ . Por último, añade varias celdas diádicas pequeñas para $F$ para que $P_{n-1}\subset {\rm Int}(F)$ y poner $P_n:=F$ . Nuestra construcción garantiza que $\cup P_i=\cup S_i=\Omega$ como desee.