Demostrar que S' es un subconjunto cerrado de X

Question

Dado el espacio métrico $(X, d)$ con $S$ como subconjunto de $X$ Estoy tratando de probar que $S'$ es un subconjunto cerrado de $X$ .

Mi idea es demostrar que el complemento $X - S'$ es abierto eligiendo algún punto $x$ en el complemento y demostrando que es un punto interior. ¿Es suficiente decir que $x$ entonces debe ser un punto adherente o un punto aislado, y por tanto un punto interior?

Además, debo encontrar un ejemplo de subconjunto $S$ en los números reales tal que $(S')'$ no es igual a $S$ . Estoy un poco perdido en cuanto a lo que esto significaría, pero estoy pensando que podría ser cierto para el conjunto $S = \{ \frac 1n : n \in \mathbb{N}\}$ . Sé que el conjunto de puntos de acumulación de este conjunto es ${0}$ y estoy pensando que su conjunto de puntos de acumulación sería el conjunto nulo, pero no estoy seguro de si esto es correcto.

Answer 1

Sea $x_n \in S'$ tal que $x_n \to x$

Demostraremos que $x \in S'$

Ahora cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $x_n$ es un punto límite de $S$

Así que para $\epsilon=1$ existe $y_1 \in S$ tal que $d(x_1,y_1) < 1$

Para $\epsilon=2$ existe $y_2 \in S$ tal que $d(x_2,y_2)<\frac{1}{2}$

Continuando de esta manera encontramos $y_n \in S$ tal que $d(x_n,y_n) < \frac{1}{n}$

Así $y_n \to x $ porque $$d(y_n,x) \leq d(y_n,x_n)+d(x_n,x) \to 0$$ y $y_n \in S$ así que $x$ es un punto límite de $S$ así $x \in S'$ demostrando que $S'$ está cerrado.

Como contraejemplo, tomemos el intervalo abierto $(0,1)$ en la topología habitual de la recta real.