Técnicas para demostrar la existencia de una EDP con condición de contorno dinámica

Question

Sea $\Omega$ sea un dominio acotado. Busco técnicas para demostrar la existencia de soluciones a problemas dinámicos de contorno de la forma $$\Delta u = 0 \quad\text{on}\quad \Omega \times (0,T)\\ \qquad\qquad\frac{du}{d\nu}= \frac{d}{dt}(f(u)) \quad\text{on}\quad \partial\Omega \times (0,T)\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!u(t=0) = u_0\quad\text{on}\quad \Omega$$ donde $f$ es una no linealidad (no necesariamente globalmente Lipschitz).

Conozco dos maneras: 1) convertir el problema utilizando el mapa de Dirichlet a Neumann en una EDP en la frontera (como hace Lions), y 2) utilizar los resultados de la teoría de los operadores monótonos acumulativos discretizando la ecuación en el tiempo y resolviendo después un problema elíptico, etc.

No deseo utilizar ninguno de ellos. ¿Existen otros métodos?

Answer 1

Yo echaría un vistazo al documento de Ciprian Gal y Martin Meyries sobre problemas elípticos con condiciones de contorno no lineales dependientes del tiempo. Tratan una ecuación similar a la que tienes y utilizan maximal $L^p$ -regularidad de la ecuación linealizada para demostrar la existencia de soluciones.