Un símbolo para denotar el conjunto de números primos ?

Question

Me sorprende que no haya un símbolo ampliamente aceptado para denotar el conjunto de números primos usuales en $\mathbb{N}$.

Mira:

$$\zeta(s)=\prod_{p\in \mathrm{?}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$$

¿No sería mejor tener un símbolo estándar para poner en lugar de "$\mathrm{?}$" en lugar de escribir simplemente $\Pi_p$ y especificar con palabras "donde $p$ varía en el conjunto de números primos"?

¿Hay alguna razón para esta falta de notación estándar? ¿Quizás porque los números primos no forman una estructura algebraica lo suficientemente agradable?

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¿Has visto instancias expresivas en la literatura para definir dicho símbolo?

Answer 1

Dado que comenté tanto, también voy a intentar responder. Encuentro esta pregunta de alguna manera difícil, ya que "estándar" me parece tan vago. [En cierto sentido, es un comentario muy largo, el mensaje principal es como en la respuesta de Martin Brandenburg.]

Si se pregunta por un verdadero estándar, entonces, no hay ninguno. Pero, creo que eso es pedir demasiado.

$\mathbb{N}$ se usa en la pregunta sin explicación como una especie de estándar.

¿Pero lo es? En realidad, para mí hay menos de una notación estándar para los enteros no negativos y los enteros positivos que para los números primos (como se expresó de forma críptica en un comentario ahora eliminado). Algunas personas usan $\mathbb{N}$ para significar los enteros no negativos y otros para denotar los enteros positivos. (El respectivo otro se denota con $\mathbb{N}^{\ast}$ y $\mathbb{N}_0$ o algo por el estilo.) Así que, básicamente, uno tiene que definir la notación si desea estar seguro de que no haya malentendidos; o usar lo suficiente tanto no negativos como positivos, porque cada uno de los pares deja claro cuál es cuál. [Y, de hecho, una vez pasé un tiempo considerable tratando de averiguar si en algún documento $\mathbb{N}$ incluía cero o no; ya que necesitaba el resultado específicamente para $0... al menos lo hizo.]

Henri Cohen, en su reciente libro de dos volúmenes sobre teoría de números, se niega a usar $\mathbb{N$ por estas razones y en su lugar usa 'decoraciones' apropiadas de $\mathbb{Z$.

Y luego está también la cuestión de $\mathbb{N}$ vs. $\mathbf{N}$ (y raramente, pero acabo de verlo en el documento mencionado por David Speyer, $\mathcal{N}$). Incluso para los enteros no hay un verdadero estándar, ya que las fuentes varían de la misma manera; lo mismo para los reales, complejos, racionales (al menos para bf vs bb).

Entonces, ¿por qué debería haber un estándar más verdadero para los números primos?

Y si se pregunta por algo esencialmente tan estándar como lo anterior, entonces diría que sí lo hay: una P mayúscula en algún 'fuente especial' blackboard bold, caligráfica o negrita. Dependiendo de la elección de uno respecto a la fuente para, digamos, los enteros con la excepción de la preocupación planteada por Seva o los mencionados 'conflictos de notación', de modo que entonces la caligráfica no es en absoluto inusual.

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Ahora, si uno debería o no usar un símbolo para los números primos me parece un debate un poco ortogonal. Yo diría que depende del campo, incluso del documento específico, y del estilo personal. En algunos de mis documentos lo uso, en otros no; depende si parece útil.

Es cierto que es mucho menos probable que se utilicen los números primos como 'bloque de construcción' en alguna construcción y, por lo tanto, se necesite un símbolo, mientras que, por ejemplo, $\mathbb{Z}^n$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y muchas otras cosas se usan frecuentemente.

Pero, entonces, ¿por qué $\mathbb{N}$ (asumiendo que no contiene $0$)? Esto también podría evitarse la mayor parte del tiempo, o se podrían hacer argumentos similares.

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Entonces, no hay un estándar único, sino varias notaciones estándar (prácticamente todas alguna variación de P, ya sea en negrita, caligráfica o negrita), que en aquellos campos que necesitan la notación se utilizan con frecuencia; para citar algo reciente, por ejemplo, Iwaniec y Kowalski tienen $\mathbb{P}$ como notación, al igual que $\mathbb{Z},\mathbb{Q},...

Answer 2

¿Qué tal $\mathbb{N}\boldsymbol{'}$ para el conjunto de números primos en el monoide $\mathbb{N}$? :)

Y, por supuesto, $M\boldsymbol{'}$ para los primos en un monoide $M$. Incluso podría abreviarse a solo $\boldsymbol{'}$ cuando se entiende que el monoide es $\mathbb{N$.

Vamos a ver:

$$\zeta(s)=\prod_{p\in \mathbb{N}\boldsymbol{'}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$$

o incluso simplemente

$$\zeta(s)=\prod_{\,p \;\,\boldsymbol{'}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$$

o

$$\zeta(s)=\prod_{p \;:\,\boldsymbol{'}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$$

Answer 3

El conjunto de números primos, aunque no tiene una estructura fija o regular en sí mismo, debería ser simbolizado como N' ya sea en negrita o en tipo Blackboard Bold con el apóstrofe o el símbolo primo a su derecha como un superíndice que denote ese conjunto o subconjunto de números naturales (N) como el de los números PRIMOS.