Un símbolo para denotar el conjunto de números primos ?

Question

Me sorprende que no haya un símbolo ampliamente aceptado para denotar el conjunto de números primos usuales en $\mathbb{N}$.

Mira:

$$\zeta(s)=\prod_{p\in \mathrm{?}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$$

¿No sería mejor tener un símbolo estándar para poner en lugar de "$\mathrm{?}$" en lugar de escribir simplemente $\Pi_p$ y especificar con palabras "donde $p$ varía en el conjunto de números primos"?

¿Hay alguna razón para esta falta de notación estándar? ¿Quizás porque los números primos no forman una estructura algebraica lo suficientemente agradable?

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¿Has visto instancias expresivas en la literatura para definir dicho símbolo?

Answer 1

Apenas escribí $\displaystyle \prod_{p \text{ primo}}$.

Answer 2

He leído $\mathbb{P}$ muchas veces y también la utilizo.

Answer 3

Para responder a la pregunta actual, no conozco ningún símbolo estándar; he visto $P$, $\mathbb{P}$ y $\mathtt{PRIMES}$. (Este último parece más común en la literatura de informática, como en este famoso documento).

Me gustaría aprovechar esta oportunidad para hacer mi habitual petición de usar símbolos de varias letras; y argumentar en este caso a favor de $\mathtt{PRIMES}$. Hay conceptos más importantes que se pueden representar con letras mayúsculas y minúsculas, incluso permitiendo múltiples fuentes y letras griegas. Además, los símbolos de varias letras son mucho más autoexplicativos que los de un solo carácter; puedo abrir un documento, ver $\mathtt{PRIMES}$ en medio de una página y tener una muy buena idea de lo que representa; no es así con $\mathbb{P}$.

Además, si asignas los simples símbolos de una sola letra a objetos importantes, no los tendrás disponibles para roles pequeños como el $p$ y el $s$ en tu fórmula. Por ejemplo, supongamos que necesitas el producto parcial $$\prod_{\substack{ p \in \mathtt{PRIMES}\\ p < P }} \frac{1}{1-p^{-s}}$$ y necesitas trabajar con expresiones como $O(\min(P^{-1} \log P, 10))$ para ver cómo dependen las cosas de tu límite. (Abre prácticamente cualquier documento de teoría analítica de números para ver ejemplos como este). ¿No estarías agradecido de no haber desperdiciado $P$ en un conjunto, que es improbable que aparezca en manipulaciones algebraicas complicadas?

PD: Por supuesto, en muchos casos, deletrear las cosas con palabras es la mejor solución. No hay nada de malo en "$\prod_p \ \left( \textrm{tal cosa} \right)$, donde $p$ corre a través de los primos".

Answer 4

Como en otras respuestas y comentarios: el contexto suele ser suficiente para explicar que $p$ es un primo, ya sea en los enteros racionales o en cualquier otro lugar. Es decir, cuando sea posible, ninguna notación es más clara (y menos voluminosa y visualmente ruidosa) que cualquier otra posible notación.

Del mismo modo, como tardé en aprender, las notaciones de los objetos no necesitan hacer referencia explícita a cada parámetro en el que dependen: el contexto debería dejarlo claro en su mayor parte y, si el contexto no lo está haciendo, entonces puede ser tanto una queja sobre la configuración del contexto del autor como cualquier otra cosa.

Además, como en otros comentarios y respuestas, asignar etiquetas concisas de una sola letra para variables globales a menudo es derrochador.

También, como nos enseña la programación de computadoras, cuantas menos variables globales mejor, y, si uno tiene tales variables, sus nombres deberían ser autoexplicativos, no crípticos, no importa la ilusión de "ahorro".

Incluso en situaciones donde la clarificación es esencial, las expresiones en línea pueden ser casi en su totalidad prosaicas, en lugar de simbólicas, y las expresiones mostradas pueden tener un pequeño comentario verbal, como en $$ \zeta(s)\;=\;\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}\hskip30pt\hbox{(producto sobre primos $p$)} $$

Answer 5

Para un esquema $X$, a veces la gente usa $\lvert X\rvert$ para denotar el conjunto de puntos cerrados de $X$. Así que el conjunto de primos es $|\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})|$ y tienes: $$\zeta(s)=\prod_{p\in\lvert \operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\rvert}\frac{1}{1-p^{-s}}.$$

Esta fórmula, por supuesto, generaliza para dar la función $\zeta$ de cualquier esquema $X$ de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ (por ejemplo, una variedad de tipo finito sobre un campo finito): $$\zeta_X(s)=\prod_{x\in\lvert X\rvert}\frac{1}{1-|\kappa(x)|^{-s}}$$ donde $\kappa(x)$ es el campo residual en $x$ y $\lvert\kappa(x)\rvert$ es su orden.